Si $f$ tiene un cero y $|f''|\leq M$ entonces $f$ es monótona en $(-h,h)$ donde $h=\sqrt{2|f(0)|/3M}$

Question

Sea $f$ sea dos veces diferenciable en $\mathbb R$ y que $M$ sea un límite de $f''$ , $|f''|\leq M$ en $\mathbb R$ . Supongamos que $f(0)\neq0$ a $h=\sqrt{\frac{2|f(0)|}{3M}}$ . Demostrar que si $f$ tiene un cero en $(-h,h)$ es monótono en $(-h,h)$ .

Así que vamos a suponer que hay un cero $a\in (-h,h)$ tal que $f(a)=0$ y también hay $b\in (-h,h)$ tal que $f'(b)=0,\ f''(b)\neq0$ . Necesitamos una contradicción.

Esta pregunta está en el capítulo de Taylor Expansion aunque no consigo sacar nada en claro de $f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi_x)}{2}x^2$ ni por las expansiones cerca de $a,b$ . Entiendo que en $(-h,h)$ tenemos $\frac{M}{2}x^2<\frac{|f(0)|}{3}$ que sin embargo puede estar relacionado con el término de la 2ª derivada.

Answer 1

Supongamos que $f'(x_0)=0$ con $|x_0|<h.$ Entonces $|f'(x)|\leq M|x-x_0|< M(|x|+h)$ para todos $|x|<h.$ En particular para $0<x<h$ tenemos $$|f(x)-f(0)|\leq \int_0^h |f'(x)|dx\leq \int_0^h M(x+h)dx<\tfrac32 Mh^2<|f(0)|$$ con el mismo límite para $-h<x<0.$ Esto significa que $f$ no puede tener un cero en $(-h,h).$

Answer 2

Esto no es cierto. Considere $ f(x) = exp (-x^2) -0.1$

No es monótono en $(-h,h)$ para cualquier $h>0$ pero su segunda derivada está limitada por un valor finito de $M$ y $f(0)=1$ y tiene una raíz.