Noob la pregunta acerca de $\int \frac{1}{\sin(x)}dx$

Question

Yo integrar manualmente $\int \frac{1}{\sin(x)}dx$ $$\int \frac{\sin(x)}{\sin^{2}(x)}dx = -\int \frac{1}{\sin^{2}(x)}d\cos(x) = \int \frac{1}{\cos^{2}(x) - 1}d\cos(x).$ $

Después de la sustitución de $u = \cos(x)$,

$$\int \frac{1}{u^{2} - 1}du = \int \frac{1}{u^{2} - 1}du = \frac {1} {2} \int \left(\frac {1} {u - 1} - \frac {1} {u+1}\right) du = \frac {1} {2} \ln\left(\frac {u-1} {u+1}\right) + C.$$

Sustituya para obtener

$$\frac {1} {2} \ln\left(\frac {\cos(x)-1}{\cos(x)+1}\right) + C.$$

El problema es que esta solución es incorrecta (supongo) porque, por ejemplo, http://www.integral-calculator.com/ da otra solución

$$\frac {1} {2} \ln\left(\frac {1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)}\right) + C.$$

Y todos los demás en línea solucionadores le da el equivalente de la solución a $$\frac {1} {2} \ln\left(\frac {1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)}\right) + C.$$

La cuestión es que no he cometido un error?

Actualización: algunos de ustedes pueden decir que en el complejo espacio de mi respuesta es correcta, pero no tan rápido:

Tomar wolfram solver: integrar 1/sinx

La obtenemos: $-ln(cot(x) + csc(x)) + C$ es fácil ver que es equvalent a $$\frac {1} {2} \ln\left(\frac {1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)}\right) + C.$$

$-\ln(\cot(x) + \csc(x)) + C = -\ln(\frac {\cos(x)} {\sin(x)} + \frac {1} {\sin(x)})$

entonces

$-\ln(\frac {\cos(x)} {\sin(x)} + \frac {1} {\sin(x)}) = -\frac {1}{2} \ln(\frac {(1+\cos(x))^{2}} {\sin^{2}x}) = -\frac {1}{2} \ln(\frac{1+\cos(x)+\cos(x)+\cos^{2}(x)} {1-\cos^{2}x}) = -\frac {1}{2} \ln(\frac {(1+\cos(x))(\cos(x)+\cos^{2})(x)} {1-\cos^{2}x}) = -\frac {1}{2} \ln(\frac {1+\cos(x)} {1-\cos(x)}) = \frac {1}{2} \ln(\frac {1-\cos(x)} {1+\cos(x)})$

Answer 1

¿De dónde me equivoco?

En primer lugar, usted no lo tiene $$ \frac {1} {2} \int \left(\frac {1} {u - 1} - \frac {1} {u+1}\right) du = \frac {1} {2} \ln\left|\frac {u-1} {u+1}\right| + C $$, a continuación, observe que $$ \left|\frac {\cos(x)-1}{\cos(x)+1}\right|=\frac {1-\cos(x)}{1+\cos(x)} $$ desde $$ 1 - \cos(x)\ge 0,\quad 1+ \cos(x)\ge0, $$ dando que $$ \ln\left|\frac {\cos(x)-1}{\cos(x)+1}\right|=\ln\left(\frac {1-\cos(x)}{1+\cos(x)}\right). $$

Answer 2

Si usted está considerando antiderivatives como funciones de encendido conectado dominios $D$ que se abren en $\mathbb{C}$ -- seleccionados adecuadamente, de modo que no tiene que preocuparse acerca de multivaluedness del logaritmo -- entonces usted debe estar bien. Es cierto que las funciones $z \mapsto \frac1{2} \ln \left(\frac{1 - \cos(z)}{1 + \cos(z)}\right)$ $z \mapsto \frac1{2} \ln \left(\frac{\cos(z) - 1}{\cos(z) + 1}\right)$ son antiderivatives de $z \mapsto 1/\sin(z)$. Su diferencia es la constante de $C = \ln(-1)/2$ para cualquier rama del logaritmo que usted está considerando. Así que usted todavía consigue la misma familia de funciones, hasta un complejo constante.

Answer 3

La integral de $1/x$ no $\ln(x)$, pero $\ln|x|$. Ver Cuál es la integral de 1/x?

A continuación, en el caso de $\frac{1}{2}\int du \left( \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1} \right) = \frac{1}{2}\ln\left( \frac{|u-1|}{|u+1|} \right) + C$. Cuando la metes $u=\cos(x)$, la expresión $|u-1|$ hace $|\cos(x)-1|=1-\cos(x)$ $|u+1|$ hace $|\cos(x)+1|=1+\cos(x)$. Aviso, usted puede olvidarse de tomar el valor absoluto, debido a que $1-\cos(x) \ge 0$$1+\cos(x)\ge 0$. Finalmente

$\int dx \frac{1}{\sin(x)} = \frac{1}{2}\ln\left( \frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)} \right) + C$