Cual de estas distribuciones se aproxima mejor a una distribución de Poisson?

Question

Considere dos de Poisson, binomial distribuciones de sumas de Bernoulli independientes variables) de la siguiente manera:

1. La distribución de la suma de 99 variables con una probabilidad de 0.01 (de tomar el valor 1), y 1 de la variable con probabilidad de 0.05.
2. La distribución de la suma de 999 variables con una probabilidad de 0.01 y 1 variable con probabilidad de 0.05.

Esperamos que cada distribución se aproxima a una distribución de Poisson:

$$Pr(k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}.......(k=0,1,2,...) $$

con $\lambda = 1.04$ para la Distribución 1 y $\lambda = 10.04$ para la Distribución 2.

Intuitivamente, al menos para mí, la aproximación debe ser mejor para la Distribución de los 2, porque hay más variables con una probabilidad de 0.01 a "pantano" el efecto de una sola variable con una probabilidad diferente. Sin embargo, la aplicación Le Cam Teorema, la suma de los infinitos términos de las diferencias absolutas en las probabilidades de particular $k$-valores por debajo de estas distribuciones de sus respectivos Poisson aproximaciones tienen los siguientes límites superior:

$$Distribution 1: 2[(99*0.01^2)+(1*0.05^2)] = 0.0248$$

$$Distribution 2: 2[(999*0.01^2)+(1*0.05^2)] = 0.2048$$

Si estas sumas pueden ser tomadas como medidas de la bondad de la aproximación, que sugieren que la aproximación es mucho mejor para su Distribución 1.

¿Cómo puede este rompecabezas se resuelve? ¿Hay algún resultado que va más allá de Le Cam Teorema diciendo algo acerca de las diferencias absolutas en las probabilidades de particular $k$-valores, y no sólo acerca de su suma? Sería útil por ejemplo si se pudiera demostrar que en la mayoría de sólo una pequeña parte de la 0.2048 para la Distribución 2 puede referirse a cualquier particular, $k$- valor.

Actualización He calculado las diferencias entre la exacta probabilidades de $k$-de valores y su Poisson aproximaciones, obteniendo los siguientes resultados:

Distribución: 1: Suma de las diferencias absolutas de $k=0,...,10 = 0.0066$. Mayor diferencia absoluta para un determinado $k$$0.0022$$k=0$.

Distribución: 2: Suma de las diferencias absolutas de $k=0,...,30 = 0.0050$. Mayor diferencia absoluta para un determinado $k$$0.0006$$k=10$.

Yo no calcular más allá de los 10 y 30, respectivamente, como las probabilidades de entonces se convirtió en muy pequeñas y parecía poco probable que aporte mucho a las cantidades hasta el infinito. Estos resultados sugieren que la aproximación de Poisson es de hecho mejor para su Distribución 2. También sugieren que los límites superiores obtenidos a partir de Le Cam Teorema (aunque es perfectamente correcto) no son necesariamente útiles las medidas de la bondad de la aproximación porque para determinadas distribuciones de el real de la suma de las diferencias absolutas de mayo se encuentran dentro de estos límites.

Answer 1

Creo que su contradicción se resuelve si te olvidas de la p=0.05 variable por un segundo, y echar un vistazo a p=0,01 variables (esto convierte a la distribución de Poisson distribuciones binomiales en simples distribuciones binomiales). En este caso la distribución 1 se puede aproximar por una distribución de Poisson mejor de distribución 2. Ver esto. En el segundo caso $np\sim10$, es decir, justo en el límite donde la distribución de Poisson es una buena aproximación a la Binomial. En el primer caso $np=0.99$, es decir, mucho menor número, por ende, una mejor aproximación.

Por lo tanto, no la p=0.05 variable que es un factor de bondad de ajuste en sus ejemplos.