Por qué si $E$ tiene características de las $p$ $F=\{a\in E:a^{p^n}=a\}$ es un subcampo?

Question

Queremos demostrar que existe un campo finito de $p^n$ elementos ($p$ es el primer y $n>0$). Tome $q=p^n$$g(x)=x^q-x\in\mathbb{Z}_p[x]$, y deje $E$ ser un campo que contenga $\mathbb{Z}_p$ y todas las raíces de $g(x)$. Deje $F=\{a\in E:a^q=a\}$.

Entiendo que $F$ es cerrado bajo la suma (desde $E$ tiene características de las $p$), la multiplicación y el inverso multiplicativo.

Sin embargo, no entiendo por qué si $a^q=a$$(-a)^q=-a$. Me imagino que esto no es cierto si $q=2^n$. Estoy equivocado? ¿Alguien puede explicarme?

Answer 1

Al $q=2^n$, la característica es $2$. Por eso, $2=0\Rightarrow 1=-1$. Por lo tanto $(-a)^q=a^q=a=-a$.

En general, si $a,b\in F$,$(ab)^{p^n}=a^{p^n}b^{p^n}=a\cdot b\Rightarrow ab\in F$. También, $(a+b)^{p^n}=\sum_{k=0}^{p^n}\binom{p^n}{k}a^{p^n-k}b^k=a^{p^n}+b^{p^n}=a+b$, ya que el $p|\binom{p^n}{k}$$1\leqslant k\leqslant p^n-1$. Por lo tanto, $a+b\in F$. Por otra parte, $(a^{-1})^{p^n}=(a^{p^n})^{-1}=a^{-1}\Rightarrow a^{-1}\in F$.

Answer 2

Si un subconjunto $F$ de un campo de $E$ de los característicos $p$ es cerrado bajo la suma, entonces es automáticamente también cerrado en tomar negativos. Por si $x\in F$$px=0$$(p-1)x=-x$, y por lo $-x$ se puede encontrar con sólo tomar una suma de $p-1$ copias de $x$.

Answer 3

Deje $g(x)=x^{p^n}-x$. Quieres demostrar que si $g(\beta)=0$,$g(-\beta)=0$. Así que supongamos $g(\beta)=\beta^{p^n}-\beta=0$. A continuación,$g(-\beta) = (-\beta)^{p^n}-(-\beta)=(-\beta)^{p^n}+\beta$.

Si $p=2$, $g(-\beta)=(-\beta)^{p^n}+\beta = (\beta)^{p^n}+\beta$ (debido a que estamos criando a una potencia par). Esto es igual a $\beta+\beta=2\beta=0$ donde la última igualdad se mantiene debido a $p=2$.

Si $p$ es impar, entonces $g(-\beta) = (-\beta)^{p^n}+\beta = -(\beta^{p^n})+\beta=-\beta+\beta=0$.