Esta es una pregunta basada en el método aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Example_.28V.29_.E2.80.93_the_square_of_the_logarithm
El autor eligió un contorno que requiere un poco de "mágico", la sustitución de la función original $\displaystyle f(x)=\frac{\log(x)}{(1+x^2)^2}$ con el análisis de $\displaystyle f(z)=\left(\frac{\log(z)}{(1+z^2)}\right)^2$, la necesidad de que se hace evidente más tarde
Decidí en lugar de elegir un contorno que implica sólo la mitad superior de la figura dibujada, descartando la parte inferior de la línea N y el corte de la curva a través de la sección de la línea real $\mathbb R^+$
Numéricamente puedo obtener el mismo resultado: \begin{align} \int_\gamma f(z)dz &= \int_{\small M}+\int_{\small R^+} \\ &=\int_0^\infty\frac{\log(-x+i\epsilon)}{(1+(-x+i\epsilon)^2)^2}dx+\int_0^\infty f(x)dx \\ 2\pi i\cdot\operatorname{Res}[f(z),i]&=\int_0^\infty\frac{\log(x)+i\pi}{\left(1+x^2\right)^2}dx+\int_0^\infty f(x)dx&\epsilon\to0 \\ 2\pi i\cdot (\frac18(\pi+2i))&=\int_0^\infty\frac{i\pi}{\left(1+x^2\right)^2}dx+2\int_0^\infty f(x) dx\\ -\frac\pi2+\frac{i\pi^2}4&=\frac{i\pi^2}4+2\int_0^\infty f(x) dx\\ \int_0^\infty f(x)dx&=-\frac\pi4 \end{align}
Es sólo una coincidencia que tengo el mismo resultado? Hubo alguna falla en mi método? Si no, ¿por qué el autor de elegir un contorno que requiere un nonintuitive análisis que "como resulta ... es un múltiplo de la integral inicial, en la que queremos calcular?"
