Eliminar $x,y,z$ entre las ecuaciones.

Question

Eliminar $x,y,z$ entre las ecuaciones
$$ \dfrac {y}{z}- \dfrac {z}{y}=a, \dfrac {z}{x}- \dfrac {x}{z}=b, \dfrac {x}{y}- \dfrac {y}{x}=c$$ .

Entiendo que si puedo encontrar de alguna manera los valores de $ \dfrac {x}{y}, \dfrac {y}{z}, \dfrac {z}{x}$ en términos de $a,b,c$ entonces he terminado $ \dfrac {x}{y} \cdot\dfrac {y}{z} \cdot\dfrac {z}{x}$ pero parece que no puedo hacer esto. No quise multiplicar las afirmaciones dadas cuando me acerqué al problema ya que pensé que, en lugar de ayudar, esto crearía una extensión y complicación innecesaria del problema. Por favor, ayuda.

Answer 1

Deje que $r=y/z,\ s=z/x,\ t=x/y.$ Luego $r-1/r=a,\ s-1/s=b,\ t-1/t=c.$ Los dos primeros tienen cada uno dos soluciones para $r,s$ que son $$r= \frac {a \pm \sqrt {a^2+4}}{2},\ \ s= \frac {b \pm \sqrt {b^2+4}}{2}. \tag {1}$$ La única restricción de $r,s,t$ es que $rst=1,$ es decir, cada uno de los $r,s$ puede ser elegido arbitrariamente (no cero), y luego $t$ se determina como $t=1/(rs).$ Aquí los valores de $r,s$ son, de un par determinado $a,b$ expresada por una de las elecciones de signos en $(1).$

Así que si $a,b$ y también una de las cuatro opciones de signos en $(1)$ se hace, el valor de $c$ se determina como $c=1/(rs)-rs.$