La ambigüedad en la definición de compacidad

Question

Estoy luchando con la definición de compacidad en un sentido topológico. Abajo está la definición presentada en mis notas de la conferencia:

Un espacio topológico $X$ es compacto si toda cubierta abierta tiene un número finito de subcover en $X$.

Bueno, esto parece tener sentido. Pero, un ejemplo se presentó más tarde en las notas: $X$ con la topología trivial $\tau = \{X, \varnothing \}$ es compacto. De nuevo, bueno, esto parece tener sentido, ya que cualquier apertura de la tapa es finito, si nos fijamos en $\tau$.

Mi pregunta es: ¿la cubierta de venir desde el set $X$ o $\tau$? Disculpas si mi proceso de pensamiento parece claro!

Answer 1

abra la cubierta (para una determinada topología $\tau$): una colección de abrir conjuntos de $U_{\alpha}$ (abrir con respecto a la topología $\tau$) tal que $$X \subset \underset{\alpha \in A}{\bigcup} U_{\alpha}$$

conjunto abierto: Un conjunto en la topología $\tau$ del espacio $X$.

compacto (para una determinada topología $\tau$): cada cubierta abierta de a $X$ (con respecto a la topología $\tau$) tiene un número finito de subcover.

Una determinada apertura de la tapa por lo tanto, depende tanto:

• el espacio $X$
• la topología $\tau$ $X$

Si $\nu$ es diferente topología para $X$, $(X,\tau)$ $(X,\nu)$ son de diferentes espacios topológicos. Por lo tanto, que las colecciones de conjuntos abra las cubiertas de $X$, y como resultado ya sea o no $X$ es compacto será diferente.

Answer 2

Usted debe utilizar los elementos de la topología (abierto conjuntos) para cubrir su espacio.

Answer 3

También en sus notas de la conferencia debería ser:

Deje $X$ ser un conjunto, $(X,\mathcal{T})$ un espacio topológico. A continuación, una colección de $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$ se llama abra la cubierta si:

(i) $\mathcal{A}$ es un cover, es decir, $\forall x \in X, \exists A \in \mathcal{A}$ tal que $x \in A$.

(ii) Elementos de la $\mathcal{A}$ son abiertos, es decir $\mathcal{A} \subset \mathcal{T}$.

Para que la portada definitivamente viene de $\mathcal{T}$.

Answer 4

Una apertura de la tapa es una colección de bloques abiertos, cuya unión es $X$. Por lo tanto es un subconjunto de a $\tau$ a empezar.

Ya que cada subconjunto de $\tau$ es finito, entonces también lo es cada cubierta abierta.