En pocas palabras, las partículas "son" representaciones unitarias irreducibles del grupo de Poincaré, que es el grupo de isometría del espaciotiempo de Minkowski sobre el que actúa transitivamente. Tales representaciones pueden construirse mediante el método de las representaciones inducidas (cf. Wigner, Bargmann, Mackey,...) como campos clásicos sobre el espaciotiempo de Minkowski sujetos a ciertas ecuaciones de campo: de onda, de Klein-Gordon, de Weyl, de Dirac, de Maxwell, de Rarira-Schwinger,.... Matemáticamente son secciones de haces vectoriales homogéneos asociados a ciertas representaciones finito-dimensionales del "pequeño grupo", que es (el subgrupo compacto máximo de) el estabilizador (en la cubierta de espín del grupo de Lorentz) de un punto en la "envoltura de masa" (=los momentos $p$ con $p^2 = - m^2$ donde $m$ es la masa de la partícula). El pequeño grupo para representaciones masivas es isomorfo a $SU(2)$ mientras que la de las partículas sin masa a una cubierta doble no trivial de $SO(2)$ . Por lo tanto, las partículas sin masa se definen por su helicidad (la etiqueta del $SO(2)$ representación de la que se induce) y las partículas masivas por su masa y su espín (la etiqueta de la irrep de $SU(2)$ de la que se induce). Las ecuaciones de campo covariantes son (la transformada de Fourier de) los proyectores sobre componentes irreducibles.
Hablemos del caso masivo, ya que su pregunta menciona explícitamente el espín.
Existen dos tipos de irreps de $SU(2)$ aquellos en los que $-1$ actúa trivialmente y aquellas en las que no. El primer caso son las representaciones de espín entero, mientras que el segundo son las representaciones de espín medio entero.
Las representaciones de espín entero de $SU(2)$ están contenidos en las representaciones tensoriales del grupo de Lorentz, por lo que los campos de las partículas masivas de espín entero son tensoriales.
Los irreps de $SU(2)$ con espín medio entero, aquellos en los que $-1$ no actúa trivialmente, no están contenidas en representaciones tensoriales del grupo de Lorentz, ya que sobre estas representaciones $SU(2)$ actúa por conjugación y $-1$ actúa trivialmente. Para describir tales repeticiones en términos de campos hay que considerar los campos espinor, que son secciones de haces espinor (posiblemente retorcidos por haces tensoriales para campos de espín superior).
Puedes leer sobre haces de espinores en cualquier libro de Geometría de Espín. Por ejemplo, hay un libro de Lawson y Michelsohn con ese nombre. El libro de teoría de cuerdas de Green-Schwarz-Witten (segundo volumen) tiene una discusión física de esto. También definirán la conexión de espín, que es una conexión inducida por la conexión de Levi-Civita en cualquier "haz de espín", que es un haz de fibras principal que eleva el haz de cuadros ortonormales orientados de tal manera que el mapa de haces entre ellos se restringe al recubrimiento de espín. $\mathrm{Spin} \to \mathrm{SO}$ en las fibras.
No es difícil demostrar que la única forma de conexión para la conexión de espín, cuando se devuelve a la variedad mediante la elevación de un marco local (por tanto, una única forma local con valores en el álgebra de Lie ortogonal) coincide con la expresión similar para la conexión de Levi-Civita, razón por la cual muchos libros quizás no se toman la molestia de definirla correctamente. También requiere introducir bastante formalismo, al que muchos físicos son alérgicos; aunque cada vez menos.
