Interpretación de $\phi(x)|0 \rangle$ en la interacción de la teoría

Question

Estoy tratando de volver a aprender la teoría cuántica de los campos con más cuidado, y el primer paso es ver lo que los hechos de la libre la teoría de campo también tienen en la interacción de la teoría.

En campo libre, la teoría del estado de $\phi(x) | 0 \rangle$ contiene exactamente una partícula, que se localiza cerca de $\mathbf{x}$ tiempo $t$ donde $x = (\mathbf{x}, t)$. Sin embargo, típico de la teoría cuántica de campos libros están en silencio sobre la cuestión de lo $\phi(x)$ lo hace en la interacción de la teoría. Parece que se asume de forma implícita para crear una partícula localizada cerca de $\mathbf{x}$, debido a que las funciones de correlación se dice que la amplitud de partículas de propagación, pero no he visto ninguna justificación explícita.

• Qué $\phi(x)$ crear un campo de excitación localizados cerca de los $x$? Si es así, ¿cómo podemos ver eso? (Ya estoy consciente de que la localización no es perfecta en el caso libre, pero eso es un tema aparte.)
• Es $\phi(x) | 0 \rangle$ sigue una partícula de estado? Definitivamente no es una partícula de estado el uso de la teoría del número de operador, pero es, en cierto sentido, un estado con una 'vestida' de la partícula? Si es así, ¿cómo podríamos formalizar y demostrar que?

De manera más general, ¿cómo debo pensar en la acción de la $\phi(x)$ en la interacción de la teoría? ¿Y para una interacción débil de la teoría?

Answer 1

Todo esto puede ser respondidas por el mismo objeto: la función de Green $\langle 0|\mathcal{T}(\phi(x_1)...\phi(x_n))|0\rangle$ y el polology de ella. En primer lugar, debemos hacer un fourrier transformar:

$$ G(q_1,...,q_n)=\int \frac{d^dq_1}{(2\pi)^d}...\frac{d^dq_n}{(2\pi)^d}\,e^{-iq_1.x_1}...e^{-iq_n.x_n}\langle 0|\mathcal{T}(\phi(x_1)...\phi(x_n))|0\rangle $$

Polos en la cáscara $q=q_1+...+q_r$, es decir,$q²=-m²$, indica la existencia de una partícula de masa $m$, la existencia de una partícula estado $|\vec{p},\sigma\rangle$ en los espectros. El residuo de ese polo medir la proyección de esta partícula estado $|\vec{p},\sigma\rangle\langle\vec{p},\sigma|$ con el estado: $$ \int \frac{d^dq_1}{(2\pi)^d}...\frac{d^dq_r}{(2\pi)^d}e^{-iq_1.x_1}...e^{-iq_r.x_r}\langle 0 |\mathcal{T}\phi(x_1)...\phi(x_r) $$ y el estado $$ \int \frac{d^dq_{r+1}}{(2\pi)^d}...\frac{d^dq_n}{(2\pi)^d}e^{-iq_{r+1}.x_{r+1}}...e^{-iq_n.x_n}\mathcal{T}\phi(x_{r+1})...\phi(x_n)|0\rangle $$ En particular, se puede demostrar que el LSZ fórmula de reducción poniendo cada $q_i$ en la cáscara. Usted puede ver todo esto en el capítulo $10$ del primer volumen de Weinberg QFT libro de texto.

Ahora, si usted quiere saber cómo hacer sentido de que el estado $\phi(x)|0\rangle$ usted sólo tiene que enchufar este estado en un arbitrario de la función de Green y el trabajo de los residuos de varios polos. Tenga en cuenta que sólo la simetría de Lorentz corrige la proyección de este estado con una partícula de estado, hasta un total de normalización:

$$ \langle \vec{p},\sigma|\phi_{\alpha}(x)|0\rangle = \sqrt{Z}\,u_{\alpha}(\vec{p},\sigma)e^{-ipx} $$ donde esta $u$-función es la polarización de la función, responsable para que coincida con la de Lorentz indice $\alpha$ con el pequeño grupo indice $\sigma$. En la interacción de las teorías, $\phi_{\alpha}(0)|0\rangle$ no es paralelo a $|\vec{p},\sigma\rangle$, ya que por el polology y LSZ reducción de la fórmula anterior, esto significaría que la función de Green de más de dos puntos son iguales a cero, lo que implica que la S-matrix son triviales.

Responder a las preguntas:

1. Sí, el estado de $\phi_{\alpha}(x)|0\rangle$ corresponde a una preparación, un local en el terreno de la perturbación si te gusta, porque tiene el derecho propiedades en virtud de Lorentz-Poincaré transformaciones.
2. No, el estado $\phi_{\alpha}(x)|0\rangle$ no es una partícula del estado, porque esto implicaría un trivial de la S-matrix por la LSZ fórmula de reducción y polology de la función de Green, contradiciendo la hipótesis de una interacción de la teoría.

Answer 2

La verdad es que, en realidad nosotros no sabemos aún lo $\phi|\Omega\rangle$, a excepción de que podemos resolver la interacción de la teoría de la exactamente. Por otra parte, que incluso no saben lo que el vacío $|\Omega\rangle$ es; no es el vacío $|0\rangle$ en el campo de la teoría. Por ejemplo, consideremos el $\phi^4$ teoría $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m\phi^2-\frac{1}{4!}\phi^4.$$ De acuerdo a la cuantificación de procedimiento, tenemos que resolver la Moe: $$\partial^2\phi+m^2\phi+\frac{\lambda}{3!}\phi^3=0.$$ Incluso para esta simple ecuación, por desgracia, no sabemos las soluciones exactas en cuatro dimensiones. Sin embargo, supongamos que disponemos de una completa de soluciones de $\phi_i(x)$ donde $i$ pueden ser discretos o continuos. Entonces podemos tener un montón de operadores $a_i$, $a_i^+$ a través de la descomposición: $$\phi(x)=\sum (a_i\phi_i(x)+a^+_i\phi^*_i(x)).$$ A continuación, podemos construir el estado $a_i^+|\Omega\rangle$ o, más en general, el espacio de Fock. Este estado, sin embargo, puede ser completamente diferente de la normal de partículas estado. En particular, puede que no sea un eigenstate del impulso del operador y operador de energía. Entonces, lo que realmente es? Bueno es solo un estado cuántico salvedad de que no estamos atascados con las partículas de la imagen. ¿Qué es un agujero negro? Es que las partículas? No, es sólo una solución a las ecuaciones de Einstein. Huelga decir que el superpostion estado $\phi(x)|\Omega\rangle$ puede estar lejos de la imagen de una partícula que se encuentra en $x$.

Al $\lambda$ es grande, es decir, en el fuerte acoplamiento, la imagen es de hecho muy diferente de las partículas libres. Sin embargo, cuando se $\lambda\ll 1$, podemos tomar la $\phi^4$ como una pequeña perturbación y ampliar todo lo que rodea las partículas libres. En la orden cero, tomamos $\phi^{(0)}=\varphi$ donde $\varphi$ es la de las soluciones a los campos libres. En el primer orden, que nos aproximan a la Moe - $$\partial^2\phi^{(1)}+m^2\phi^{(1)}+\frac{\lambda}{3!}\varphi^3=0$$ etc..

En la teoría de la perturbación, cuando decimos que una partícula, es siempre el estado de los campos libres. Y la complicación viene con el $\phi^4$ perturbación (renormalization etc..).