Puede topologías de inducir una métrica? (revisada)

Question

Esta es una versión revisada de una pregunta que ya he publicado, pero que evidentemente estaba mal planteada. Por favor, dame otra oportunidad.

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Para la comparación de la causa, los axiomas de una métrica:

Axioma A1: $(\forall x)\ d(x,x) = 0$

Axioma A2: $(\forall x,y)\ d(x,y) = 0 \rightarrow x = y$

Axioma A3: $(\forall x,y)\ d(x,y) = d(y,x)$

Axioma A4: $(\forall x,y,z)\ d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)$

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Deje $T$ = {X,T} ser una topología, $B$ base de $T$, $x, y, z$ $\in$ X

Definición de D0: $x$ es cercana a $y$ que $z$ con respecto a $B$ ($N_Bxyz$) iff $(\exists b \in B)\ x, y \in b \ \& \ z \notin b \ \&\ (\nexists b \in B)\ x, z \in b \ \& \ y \notin b$

Definición D1: $B$ es pre-métrica₁ iff $(\forall x,y)\ x \neq y \rightarrow N_Bxxy$

Definición D2: $B$ es pre-métrica₂ iff $(\forall x,y,z)\ ((z \neq x\ \&\ z \neq y) \rightarrow N_Bxyz) \rightarrow x = y$

Definición D3: $B$ es pre-métrica₃ iff $(\forall x,y,z)\ N_Bzyx \rightarrow (N_Byxz \rightarrow N_Bxyz)$

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Definición: $T$ es pre-métrica_yo iff $(\exists B)\ B$ es pre-métrica_i (i = 1,2,3).

Definición: $B$ es pre-métrica iff $B$ es pre-métrica₁, pre-métrica₂ y pre-métrica₃.

Definición: $T$ es pre-métrica iff $(\exists B)\ B$ es pre-métrica.

Comentario: D1 es un análogo del axioma A1, D2 del axioma A2, D3 del axioma A3.

Comentario: $T$ es pre-métrica₁ iff $T$ es T₁[no sé].

Nota: Si $T$ es inducida por la métrica, a continuación, $T$ es pre-métrica.

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Pregunta: ¿Puede una propiedad pre-métrica₄ se define de forma tal que $T$ induce una métrica iff $T$ es inducida por una métrica con

Definición: $B$ es de métrica iff $B$ es pre-métrica y pre-métrica₄.

Definición: $T$ induce una métrica iff $(\exists B)\ B$ es la métrica.

Comentario: la Propiedad pre-métrica₄ debe ser un análogo de la A4 (el triángulo de la desigualdad).

Si seguramente no esta propiedad puede ser definida hace este arrojar una luz sobre la diferencia (una asimetría) entre las topologías y la métrica de los espacios? ("El triángulo de la desigualdad, que no pueden ser capturadas topológicamente.")

Answer 1

Voy a demostrar que no puede haber caracterización de metrizability a lo largo de las líneas que usted busca. (Este argumento establece y cumple con la expectativa de Mariano en los comentarios.)

Sus axiomas se manifestó en el idioma con dos tipos de objetos: los puntos y el base de los elementos. Así que vamos a ser generosos aquí, y entretener a la posibilidad de que cualquier declaración de un tipo similar, expresada en el mismo idioma. Usted está considerando estructuras que constan de un conjunto X y una colección B de subconjuntos de X, que se utiliza para generar una topología en X. Su idioma permite cuantificar el exceso puntos y en base a los elementos, y decir que un punto dado es un elemento de una base de elemento, y así sucesivamente. Esta es una perfección formal de lenguaje para trabajar en. Uno puede expresar lo que B es de hecho una base para una topología en esta lengua, por la primera afirmación de que cada punto está en alguna base de elemento y el segundo que por cada dos base del elemento b y c, y cada punto x en b en c, existe una base de elemento de d tal que x está en d y para todos los puntos z, si z está en d, entonces es tanto b y c). Del mismo modo, se puede afirmar que la condición de Hausdorff y otras propiedades topológicas en este idioma.

Pero afirman que metrizability simplemente no es expresable en este idioma. Para ver por qué, supongamos que hacia la contradicción que hay un axioma Phi expresable en el lenguaje de los puntos básicos y abrir establece en la forma que hemos descrito, que se celebró exactamente de las bases que generen métricas topologías. Considere ahora la línea real (R,<). Este es un orden lineal, y la base natural para el fin de la topología, la colección de abrir los intervalos, es de primer orden definible en el idioma que consiste solamente de la orden. Por lo tanto, la colección de básicos de abrir conjuntos se puede describir en el lenguaje de la orden lineal. Por ejemplo, para cuantificar la más básica de abrir sets, uno de ellos dice: "hay dos puntos de un<b tal que..." y, a continuación, se refiere al intervalo (a,b). Desde la línea real es de hecho una métrica de la topología, la colección de intervalos en la recta real (R,<) satisface el axioma de la Phi.

Ahora viene el problema. Por los métodos de análisis no estándar, no es una extensión de la línea real a la no estándar de la línea real, denotado (R*,<), que contiene elementos infinitesimales y el infinito de los números enteros, pero que tiene la maravillosa propiedad de que cualquier declaración expresable en el lenguaje de < lo cual es cierto en la línea real (R,<) es también cierto en el no estándar de la línea (R*,<). De hecho, el análisis no estándar es bastante potente, por un lado se puede agregar el campo de la estructura y, de hecho, cualquier estructura alguna para R y obtener la versión no estándar en R*. En particular, su axioma Phi sigue siendo cierto para los no estándar de reales (R*,<). Es decir, el axioma Phi, sea lo que sea, sigue siendo cierto para el fin de la topología en la no estándar de la línea real. Pero este es un problema serio, porque hay extensiones no estándar R* cuyo orden de topología no es metrizable. Por ejemplo, hay casos de R* donde el cofinality de la positiva infinitesimals es incontable, y en estos casos, no hay ninguna que no sea trivial secuencias convergentes en el orden de la topología de R*, pero la topología no trivial. Por lo tanto, el axioma Phi se ha cometido un error con R*, la contradicción.

Por lo tanto, no puede haber axiomatization de metrizability a lo largo de las líneas que sugieren.

Edit: En caso de que sugieren que el estándar de base para la orden no debe ser el testimonio de Phi en la recta real, pero en lugar de algún otro extraño base B es la satisfacción de Phi, luego nos considere simplemente no estándar (R*,<) junto con B*. Por la transferencia de principio, B* es una base para el fin de la topología en (R*,<) y continúa para satisfacer Phi, pero R* no es metrizable, por la misma contradicción.