He descubierto los límites para z:
$z=0$ a $z=8-y^2$
Los límites para y: $y=0$ a $y=8-x^2$
Los límites para x: $x=0$ a $x=\sqrt{8}$ (Ya que $8-x^2 = 0$ )
Por lo tanto, el volumen mediante el uso de integral triple:
$\int_{0}^{2\sqrt{2}}\int_{0}^{8-x^2}\int_{0}^{8-y^2}dzdydx $
¿Estoy en lo cierto?
Para $x : 0 < x < \sqrt{8-2\sqrt{2}}$ el límite superior en $y$ es $2\sqrt{2}$ no $8-x^2$ (que es más grande). El sitio $z = 8 - y^2$ cilindro ha "cortado" parte del $y = 8 - x^2$ cilindro. Así que la integral debería ser:
$I = \displaystyle\int\limits_{0}^{\sqrt{8-2\sqrt{2}}}\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}\int\limits_{0}^{8-y^2}dzdydx\ \ +\ \displaystyle\int\limits_{\sqrt{8-2\sqrt{2}}}^{2\sqrt{2}}\int\limits_{0}^{8-x^2}\int\limits_{0}^{8-y^2}dzdydx$
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Así es.
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Esos no son aviones. (excepto el $x=0,y=0,z=0$ )
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Su dominio de integración contiene el punto $(0,8,-56)$ . De hecho la región que has descrito es simétrica respecto al plano $x=0$ y tal vez tengas que aclarar qué parte quieres. De todos modos decidir el rango de $x,y$ por $z$ es una buena idea en esta integración.
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Pero la integral es negativa. El volumen no puede ser negativo.
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El límite y debe ser el mínimo de $8-x^2$ y $\sqrt{8}$ o deberías considerar escribirlo como la suma de dos integrales.