La solución de una ecuación del calor con simetría central obtuve el siguiente resultado:
El problema es encontrar una esfera de centro de temperatura en función del tiempo, dado que la superficie de la esfera se mantiene constante en $$T_1$$ and at initial moment t=0 the temperature inside the sphere is distributed uniformly with value $$T_0$$
Una solución es la siguiente:
$$T(t)=T_1+2 (T_0-T_1)\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} e^{-t(\frac{k\pi a}{r})^2}$$ Aquí r es el radio de la esfera y a=const es un coeficiente de conductividad térmica.
Ahora la solución debe satisfacer la condición inicial $$T(0)=T_0$$:
$$T(0)=T_1+2 (T_0-T_1)\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} $$
Esto sólo se satisface si el siguiente se tiene:
1-1+1-1+1-1+ ... =1/2
Así, hemos encontrado este divergentes suma a través de argumentos? Es necesario, por el puro matemático?
Permite ir un paso más allá y diferenciar la solución de t:
$$\frac {d T(t)}{dt}=-2 (T_0-T_1)(\frac{\pi a}{r})^2\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} k^2 e^{-t(\frac{k\pi a}{r})^2}$$
Ahora, en el momento inicial t=0, tenemos:
$$\frac {d T(0)}{dt}=-2 (T_0-T_1)(\frac{\pi a}{r})^2\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} k^2 $$
Obviamente $$\frac {d T(0)}{dt}=0$$ debido a que la velocidad máxima en el universo es limitado.
Así, el siguiente debe ser válido:
1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... =0
Aquí se puede decir lo que se ha dicho anteriormente, creo. Pero por el momento no estoy seguro acerca de los siguientes divergentes suma:
1 - 2 + 3 - 4 + ...
