Es el límite de $\lim_{(x,y) \to \infty} \frac{x+2y}{x^2 - 2xy + 2y^2}$ cero?

Question

Tengo este límite:$$\lim_{(x,y) \to \infty} \frac{x+2y}{x^2 - 2xy + 2y^2}$$

A primera vista parece que el límite es igual a 0. Pero WolframAlpha dice que no hay ningún límite. Traté de demostrarlo. Yo considerados casos $y = kx$, y así sucesivamente. Nunca llegué a encontrar larga, cuyas tiene límite de $\neq 0$.

Creo que hay un problema en el denominador. Al $x\rightarrow \infty$ $y \rightarrow \infty$ llegamos $\infty - \infty + \infty$. No está claro qué hacer con él y cómo encontrar necesarios larga.

Tal vez estoy en el camino equivocado para resolverlo. Por favor, dame un consejo.

Answer 1

La expresión es igual a

$$\frac{x+2y}{(x-y)^2 + y^2}.$$

Ir a las habituales coordenadas polares: $x=r\cos t,y=r\sin t.$ La expresión es igual

$$\tag 1 \frac{1}{r}\frac{\cos t + 2\sin t}{(\cos t-\sin t)^2 + \sin^2t}.$$

Ahora el denominador es no negativa y nunca $0,$ y por lo tanto está acotado abajo por una constante positiva $c.$ Se deduce que el valor absoluto de a $(1)$ está acotada arriba por

$$\frac{1}{r}\cdot \frac{3}{c}.$$

Como $(x,y)\to \infty$ (lo que significa, supongo que significa $(x^2+y^2)^{1/2} \to \infty$), debemos tener $r\to \infty,$ por lo que el límite es $0.$

Answer 2

Me parece que el límite es cero. Escribir la función como $$ \frac{(x-y)+y}{(x-y)^2+y^2}+\frac{2y}{(x-y)^2+y^2} $$ La segunda fracción se va a cero, ya $$ \left|\frac{2y}{(x-y)^2+y^2}\right|=\frac{|2y|}{(x-y)^2+y^2}\le \frac{2|y|}{y^2}=\frac2{|y|}\stackrel{y\to\infty}\to 0 $$ Para la primera fracción, el uso de Cauchy-Schwarz desigualdad: $$ |(x-y)\cdot1+y\cdot1|\le \sqrt{(x-y)^2+y^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2} $$ Entonces $$ \left|\frac{(x-y)+y}{(x-y)^2+y^2}\right|\le \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{(x-y)^2+y^2}}{(x-y)^2+y^2}=\sqrt{2}\cdot\frac1{\sqrt{(x-y)^2+y^2}}\le \frac{\sqrt 2}{\sqrt{y^2}} \stackrel{y\to\infty}\to 0 $$

Answer 3

Para $$\lim_{\substack{x\rightarrow\infty \\y\rightarrow\infty}} \frac{x+2y}{(x - y)^2 + y^2}$$ Deje $x-y=r\cos t$ $y=r\sin t$ por lo que el límite de $$\lim_{\substack{r\rightarrow\infty \\t\rightarrow\infty}}\dfrac{3\sin t+\cos t}{r}$$ no existe, ya que se puede mover a lo largo de $r=3\sin t+\cos t$.

Actualización:

Como decía la gente, este enfoque es erróneo en realidad, desde la $|r|\leq\sqrt{10}$ no vaya a $\infty$, pero creo que con $x=\dfrac1s$ $y=\dfrac1t$ $$\lim_{(x,y) \to \infty} \frac{x+2y}{x^2 - 2xy + 2y^2}=\lim_{(s,t) \to (0,0)} \frac{st^2+2s^2t}{(t-s)^2+s^2}=\lim_{(s,t) \to (0,0)} \frac{s(t-s)^2+4s^2t-s^3}{(t-s)^2+s^2}$$ así que el límite será de $0$ desde $$\Big|\frac{s(t-s)^2+4s^2t-s^3}{(t-s)^2+s^2}\Big|\leq\Big|\frac{(t-s)^2}{(t-s)^2+s^2}\Big||s|+\Big|\frac{s^2}{(t-s)^2+s^2}\Big||4t-s|\leq6\delta$$

Answer 4

Una respuesta más sencilla posible:

$$\frac{x+2y}{x^{2}-2xy+2y^{2}} = \frac{x+2y}{(x^{2}+2y^{2})-2xy} \leq \frac{x+2y}{2\sqrt{2}xy -2xy} = \frac{1}{(2\sqrt{2}-2)y} + \frac{1}{(\sqrt{2}-1)x}$$ by noting that the denominator is positive (equal to $(x-y)^{2}+y^{2}$) and by using $x^{2}+2y^{2} \geq 2\sqrt{2}xy$.

Ahora esto, obviamente, tiende hacia la $0$$(x,y) \rightarrow +\infty$.

Answer 5

$$ \begin{align} (x-y)^2+y^2 &=x^2-2xy+2y^2\\ &=(2-\phi)x^2+(\phi-1)x^2-2xy+\phi y^2+(2-\phi)y^2\\ &=(2-\phi)\left(x^2+y^2\right)+\left(\sqrt{\phi-1}\,x+\sqrt{\phi}\,y\right)^2\\ &\ge(2-\phi)\left(x^2+y^2\right)\\ &=\frac1{\phi^2}\left(x^2+y^2\right) \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \left|\frac{x+2y}{(x-y)^2+y^2}\right| &\le\phi^2\frac{|x+2y|}{x^2+y^2}\\ &\le\frac{3\phi^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{align} $$