¿Por qué es esto una prueba para una función arbitraria limitada a un constante?

Question

Lo siento si esto parece trivial, estoy teniendo algunas dificultades para la comprensión de una prueba.

Estoy haciendo ejercicio 5.1.14 de Velleman de Cómo demostrarlo y una solución publicado en esta cuestión, incluso los comentarios, no tiene sentido para mí. Voy a repetir el problema aquí:

Supongamos $A$ es un conjunto no vacío y $f:A\longrightarrow A$. Supongamos también que para todos los $g:A\longrightarrow A, f\circ g=f$. Probar que f es una función constante. Sugerencia: ¿Qué sucede si $g$ es constante?

Demostrando $f$ es constante, si $g$ es constante fue fácil, pero no entiendo cómo eso ayuda a resolver el problema. La forma en que me lea la pregunta, $g$ tiene que ser una función arbitraria de$A$$A$, y la restricción a una constante ya nadie lo hace de manera arbitraria. Como un ejemplo, si $g=\text{id}_A$, $g$ no es constante, pero todavía satisface las condiciones y $f\circ g=f$.

Mi pregunta se reduce a: ¿por qué hemos de descuento todos los no-constante de las funciones de $g$?

Answer 1

La pregunta que se han publicado en los estados: Supongamos que para todos los $g$(que es también una función en $A$), la composición de funciones $f$$g$$f$, $f$ es una función constante.

La relación no es para sólo un elegido de forma arbitraria $g$. Para todos $g$. Uno de los $g$ es una función constante.

Answer 2

He aquí una simple declaración a lo largo de las mismas líneas:

Lo real $y$ cumple que, para todos los demás números reales $x$,$yx=y$?

Podríamos ver en cualquier $x$ queríamos, pero sólo pasa a ser conveniente notar que $x=0$ nos lleva a la conclusión de $0=y$. Esto es suficiente para mostrarnos que "si una $y$ existe, es $0$". Entonces, todo lo que queda por hacer es comprobar si $y=0$ realmente tiene la propiedad deseada por todos los otros $x$.

Estás en una situación similar: has probado, mirando sólo la constante de funciones, que si ese $f$ existe, es constante. Entonces, su única tarea es mostrar todas constante $f$ satisfacer una determinada propiedad. Así, no estamos descontando los otros casos - que aún debe comprobar ellos, pero eso es fácil después de que hemos aprovechado el caso de la constante de $g$ que $f$ debe ser constante.

Answer 3

Esto me tomó un tiempo para averiguar. Soy capaz de entender esto mucho mejor cuando la prueba es escrita como esto:

Sabemos que $\forall g. (f \circ g) = f$. De instanciación universal, obtenemos $f \circ h = f$ donde $h$ es una constante de la función en $A$. Así que, por arbitraria $a \in A$, $h(a) = b$ para algunos $b \in A$. Ahora, $f(a) = f(h(a)) = f(b)$. Desde $a$ es arbitrario y $b$ es algún elemento en $A$,$f(a) = f(b)$, podemos concluir que $f$ es una función constante.