¿Si la matriz exponencial de matrices 3x3 simétricas a SO(3) es un homeomorfismo local?

Question

$SO(3)$ indica matrices de rotación 3x3 . Esto es Grupo de Lie, con su correspondiente álgebra de Lie en $\mathrm{Skew}_3$ el espacio de las matrices 3x3 de simetría oblicua. El vínculo entre ellos es el mapa exponencial matricial $$ \exp:\mathrm{Skew}_3 \to SO(3),\qquad \exp(A)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^n=I+A+\frac{1}{2}A^2+\ldots$$

Entiendo que $\exp$ es un difeomorfismo local en una vecindad de matriz cero. Me pregunto:

1. Por qué $\exp$ no es un difeomorfismo local en todas partes de $\mathrm{Skew}_3$ ?
2. Si $\exp$ es un homeomorfismo local en cualquier lugar de $\mathrm{Skew}_3$ ¿y por qué?

Si es posible, facilite una referencia.

Answer 1

Definir una norma sobre $\mathrm{Skew}_3$ por $$ \left\|\begin{bmatrix}0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\end{bmatrix}\right\| \;=\; \sqrt{a^2+b^2+c^2}. $$ Entonces, para cualquier $A \in \mathrm{Skew}_3$ la norma $\|A\|$ corresponde al ángulo de rotación de $\exp(A)$ . Específicamente, $\exp(A)$ es una rotación en un ángulo de $\|A\|$ alrededor de un eje paralelo al vector $(a,b,c)$ .

Obsérvese entonces que si $A\in\mathrm{Skew}_3$ y $\|A\| = 2\pi$ entonces $\exp(A)$ es igual a la matriz identidad. Es decir, toda la esfera de radio $2\pi$ centrado en el origen en $\mathrm{Skew}_3$ corresponde a la matriz identidad bajo $\exp$ . Así $\exp$ no es un difeomorfismo local (ni siquiera un homeomorfismo local) en puntos de esta esfera. Lo mismo ocurre a lo largo de la esfera de radio $4\pi$ la esfera de radio $6\pi$ etc.

Por cierto, debería ser evidente que $\exp$ es un homeomorfismo local cercano a cero. En particular, toda la bola abierta de radio $\pi$ mapea homeomórficamente en $SO(3)$ y su imagen consiste en todas las rotaciones por ángulos menores que $\pi$ . Sin embargo, $\exp$ no es uno a uno en la frontera de esta bola, ya que $\exp(A) = \exp(-A)$ para cualquier $A\in\mathrm{Skew}_3$ con $\|A\| = \pi$ .