Evaluación de $\sum_{x=0}^\infty e^{-x^2}$

Question

La mayoría de nosotros conoce la clásica Integral de Gauss

$$\int_0^\infty e^{-x^2}\, dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

Me interesaría evaluar la suma similar

$$\sum_{x=0}^\infty e^{-x^2}$$

Ahora, porque $\exp(-\lfloor x \rfloor^2) \ge \exp(-x)$ encontramos

$$\sum_{x=0}^\infty e^{-x^2}= \int_0^\infty e^{-\lfloor x \rfloor^2}\, dx \ge \int_0^\infty e^{-x^2}\, dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

¿Existe una forma cerrada para esta suma? Si es así, ¿cuál sería? Me interesaría mucho saber cómo se encontraría una forma cerrada para esta función.

Answer 1

Como se menciona en los comentarios, esta suma está relacionada con uno de los Jacobi theta funciones . $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty e^{-n^2} &=& \frac{1}{2}\left(1 + \sum_{n=-\infty}^\infty \left(\frac{1}{e}\right)^{n^2}\right) \\ &=& \frac{1}{2}\left[1+\vartheta_3\left(0,\frac{1}{e}\right)\right] \\ &\simeq& 1.386 \end{eqnarray*}$$