Factorización de polinomios en dos variables.

Question

Dado un polinomio $P(x,y)$ Me gustaría saber cuáles son los criterios para la factorización de los factores lineales.

Por ejemplo, en una variable, si $Q(a) = 0$ entonces se puede decir $Q(x) = (x-a)R(x)$ . En dos variables esto no es cierto, como lo demuestra $P(x,y) = x^2+y^2$ uno tiene $P(0,0)=0$ pero no se puede factorizar nada.

¿Cuándo se puede sacar un factor lineal de un polinomio en dos variables?

Answer 1

Tengo una referencia que cita este teorema para real polinomios, pero si repaso la prueba quizás esto también funcione sobre otros campos/dominios euclidianos posiblemente. Aquí está :

Teorema . Sea $f(x,y)$ sea un polinomio con coeficientes reales y grado $d$ . Sea $a,b,c$ sean números reales, y que $L$ denotan el conjunto de puntos $(x,y)$ para lo cual $ax + by + c = 0$ . Si la curva $f(x,y) = 0$ y $L$ tienen estrictamente más de $d$ puntos distintos en común, entonces existe $k(x,y)$ con coeficientes reales tales que $$ f(x,y) = (ax+by+c)k(x,y). $$ Esto está en Niven & Zuckerman's Introducción a la teoría de los números así que no se centra en el álgebra. Editaré esta respuesta más tarde si veo una razón por la que esto se mantendría sobre algunos otros campos, pero la prueba utiliza principalmente la expansión de Taylor del polinomio (que se puede hacer formalmente, sin utilizar la diferenciación en el sentido de "límite").

Espero que eso ayude,

Answer 2

El teorema del factor sigue siendo aplicable, por ejemplo

$\rm\qquad x-a\ |\ f(x) \iff f(a) = 0\ \ $ para $\rm\:a = by+c \in R[y]\:$ es

$\rm\qquad x-by-c\ |\ f(x,y)\iff f(by+c,\:y) = 0$

Por ejemplo $\rm\ x-y\ |\ f(x) - f(y)\ \:$ desde $\rm\ f(y)-f(y) = 0 $