Mostrando un conjunto de índices donde la restricción es bijección es un club

Question

Estoy tratando de mostrar alguna declaración general:

Tengo un cardenal habitual $\kappa$ y una creciente familia continua de conjuntos $\langle X_ \alpha \mid \alpha < \kappa \rangle$ con $\left |X_ \alpha\right | \le \alpha$ . Deje que $X = \bigcup_ { \alpha < \kappa } X_ \alpha$ y dejar que $f : \kappa \rightarrow X$ ser una bendición. Quiero mostrar que $\left\ { \alpha < \kappa \mid f \restriction_\alpha : \alpha \rightarrow X_ \alpha \text { is onto } X_ \alpha \right\ }$ es un club.

¿Alguna pista de cómo hacer esto?

Answer 1

(Bajo el supuesto [actualmente] implícito de que la secuencia es continua).

PISTA: No es difícil mostrar por qué este plató está cerrado. La única queja es mostrar que no tiene límites. Pero toma cualquier $\gamma = \gamma_0$ define $\beta_n = \min\ { \beta\mid f( \gamma_n ) \subseteq X_ \beta\text { and } \gamma_n < \beta_n\ }$ y $ \gamma_ {n+1}= \max\ { \sup f^{-1}(X_{ \beta_n }), \beta_n +1\}$ .

Ahora toma $\gamma_\omega = \sup\gamma_n = \sup\beta_n$ y mostrar que $\gamma_\omega$ satisface esta propiedad.

Answer 2

Pruebe primero que dado cualquier $\alpha$ lo suficientemente grande, y cualquier $T \subset V_ \alpha$ de tamaño inferior a $\kappa$ hay un $Y \prec V_ \alpha$ con $T \subset Y$ , $|Y|< \kappa$ y $Y \cap\kappa$ un ordinal. Esto es fácil de organizar mediante la aplicación del teorema de Lowenheim-Skolem: Empieza con $Y_0$ que contiene $X$ y en cada etapa, dado $Y_n$ que $Y_n \prec Y_{n+1} \prec V_ \alpha$ asegurando $Y_{n+1}$ tiene un tamaño pequeño, y contiene todos los ordinales menos de $\sup (Y_n \cap\kappa )$ . Esto es posible porque $|Y_n|< \kappa$ y $\kappa$ es regular. Entonces $Y_ \omega = \bigcup_n Y_n$ es lo que se desea.

Asumiendo ahora la familia de $X_i$ es continua, toma una subestructura elemental $Y$ de algunos grandes $V_ \alpha$ de tamaño inferior a $\kappa$ y que contiene $\kappa$ y todos los conjuntos pertinentes, con $Y \cap\kappa$ un ordinal. Comprueba que si $\beta =Y \cap\kappa$ Entonces $f \upharpoonright \beta$ es una bendición.

Para ver esto, sólo hay que tener en cuenta (usando la elementalidad) que $f( \gamma ) \in Y$ para todos $\gamma < \beta$ y que cada uno $t \in X_ \beta$ está en $Y$ . Aquí usamos la continuidad: Si $t \in X_ \beta$ entonces $t \in X_ \alpha$ para algunos $\alpha < \beta$ así que es $f( \gamma )$ para algunos $\gamma$ en $Y$ y, por lo tanto, más abajo $\beta$ .

Esto da el resultado, ya que podemos empezar con una subestructura $Y$ de $V_ \alpha$ de tamaño $\kappa$ y que contiene $\kappa$ y todo lo relevante, y forman una secuencia creciente continua $(Y_ \alpha\mid\alpha < \kappa )$ de subestructuras elementales que se aproximan $Y$ y de tamaños inferiores $\kappa$ y tal que $Y_ \alpha\cap\kappa$ es un ordinal para todos $\alpha$ . Los ordinales $Y_ \alpha\cap\kappa$ nos ponemos de esta manera de un club. No es difícil demostrar que, de hecho, para un club de $\alpha$ tenemos que $Y_ \alpha\cap\kappa = \alpha$ .

(Como se muestra en el ejemplo de Brian, el supuesto de continuidad es realmente necesario.)

Answer 3

A menos que me esté perdiendo algo, el set en cuestión no necesita ser cerrado.

Deje que $\kappa = \omega_1$ . Para $n \in\omega$ deja $X_n=n$ y $X_{ \omega +n}= \omega\cup\ { \omega +2k:k \in n\}$. Para$ \omega\cdot2\le\alpha < \omega_1 $deja$X_ \alpha = \alpha $. Claramente$X= \omega_1 $. Defina$f: \omega_1\to\omega_1 $ de la siguiente manera:

• para $n \in\omega$ , $f(n)=n$ y $f( \omega +n)= \omega +2n$ ;
• $f( \omega\cdot2 +2n)= \omega\cdot2 +n$ para $n \in\omega$ ;
• $f( \omega\cdot2 +2n+1)= \omega +2n+1$ para $n \in\omega$ y
• $f( \alpha )= \alpha$ para $\omega\cdot3\le\alpha < \omega_1$ .

Luego $f$ es una bendición, y $f \upharpoonright\alpha$ mapas $\alpha$ en $X_ \alpha$ para todos $\alpha < \omega\cdot2$ pero

$$f[ \omega\cdot2 ]= \omega\cup\ { \omega +2n:n \in\omega\ } \subsetneqq\omega\cdot2 =X_{ \omega\cdot2 }\;.$$

Añadido: Esto no puede suceder si la secuencia $\langle X_ \alpha : \alpha < \kappa\rangle$ es continua, así que probablemente quieras añadir esa condición.