El "más útil" reclamo viene porque
Se sigue un patrón que vemos a menudo en otras partes de las matemáticas y
Le ahorra la molestia de tener que escoger un "especial" elemento de cada clase de equivalencia para el uso como el "nombre" de esa clase.
En tu ejemplo, para $m = 3$, la clase $\{0, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \ldots \}$ se llama $0$, y lo mismo para las cosas nombrado $1$$2$, y que funciona muy bien. En este caso, el elemento de "0" es el "especial" en su clase de equivalencia.
Pero si nos fijamos en algo como $S^3$, el conjunto de pares de números complejos $(z, w)$$|z|^2 + |w|^2 = 1$, hay una hermosa relación de equivalencia en estos: decimos que $(z, w) \sim (z', w')$ siempre $zw' = wz'$. Resulta que geométricamente $S^3$ consiste de todos los puntos en 4 dimensiones del espacio cuya distancia al origen es 1, y cada clase de equivalencia resulta ser un círculo dentro de esta "3-esfera". Así que podemos escribir la 3-esfera como una unión de estos círculos. Pero para cada círculo, no hay 'preferido' elección de $(z, w)$, para representar a ese círculo, por lo que un esquema de nomenclatura como el que has usado no está realmente disponible. Pero la descomposición es todavía muy útil: es el llamado de Hopf Fibration, y es uno de los principales ejemplos en homotopy teoría.
En ciencias de la computación, es muy común querer recoger elementos especiales para tratar con las cosas individuales en lugar de conjuntos, por lo que "mod" (como una operación sobre enteros) muy a menudo se define en equipo idiomas exactamente de la manera que sugieren (aunque lo $n \bmod k$ al $n$ o $k$ es negativo resulta ser profundamente indecisos entre los científicos de la computación -- casi todos los imaginables definición ha sido utilizada, y no hay dos que parecen estar de acuerdo).
Permítanme un argumento más en favor de la "equivalencia de clase" de la definición. Si usted piensa de $\Bbb Z$$\Bbb Z/ n \Bbb Z$, siendo la última el "conjuntos de clases de equivalencia, entonces existe una función natural de la primera a la segunda:
$$
p: \Bbb Z \a \Bbb Z/ n \Bbb Z: k \mapsto \text{la clase que contiene a $k$}
$$
Por el contrario, la escritura de la "regla" para hacer $k$ a su diseño modular resto es una (pequeña) del dolor. La fórmula que he dado para la "proyección para el cociente" es el mismo para cualquier relación de equivalencia, y es tan simple que casi no necesita recordar.
Cuando llega el momento de definir las operaciones en el cociente (como "modular"), el strucutre de la prueba de que la operación tiene sentido es (en la clase de equivalencia caso) siempre el mismo: usted dice
"Supongamos que $a \sim b$$a' \sim b'$; vamos a demostrar que
$$
p(a+a') = p(b + b')
$$
lo que demuestra que la adición en el conjunto original ($\Bbb Z$) 'pasa al cociente.' Desde $a \sim b$, hay un entero $u$$a = b + un$; desde $a' \sim b'$, hay un entero $v$$a' = b' + vn$. Pero, a continuación,$a+a' = (b + b') + (u+v)n$, mostrando que el $a+a' \sim b + b'$."
Para algunos, las relaciones de equivalencia, los detalles de ese párrafo central son mucho más complicadas, pero la estructura se mantiene constante, que puede ser una gran ayuda en dejar que usted sabe lo que usted debe probar.
