Describir la imagen en $f(z)=e^{2\pi iz}$

Question

Quiero describir la imagen de la tira { ${z \in \mathbb C |-1/2 \leq x \leq 1/2}$ $y \geq 1$ } en el mapa de $f(z)=e^{2\pi iz}$.

Mi intento, $e^{2\pi iz}=e^{-2\pi y}(cos2\pi x+isin2\pi x)$. Desde $y \geq 1$, de modo que el módulo de este número se encuentra en $(0,e^{-2 \pi}]$ y desde $|x|\leq1$, por lo que tenemos $-1 \leq cos2\pi x \leq1$$-1 \leq sin2\pi x \leq1$. Por lo tanto, obtener la descripción de las partes real e imaginaria. ¿Qué es esta cosa geométricamente? Por favor ayuda

Answer 1

Lo principal es que el argumento de $e^{2\pi iz}$ como se calcula, es $2\pi x$, y que el punto de $\cos2\pi x+i\sin 2\pi x$ es sobre el círculo unidad, exactamente $2\pi x$ ángulo (desde el ala derecha de $x$-eje).

Ahora $x=-1/2..1/2$ por lo tanto el argumento (el de ángulo cerrado con el ala derecha de $x$-eje) se va de$-\pi$$\pi$, describiendo así el círculo entero. Y el radio del círculo varía de $0$$e^{-2\pi}$. Así, es un disco alrededor de la origo, sin la origo sí mismo.