Tengo que demostrar por inducción que $Q_n \ge\frac{10}{3}-\frac5{3n}$ $n\ge2$$$ Q_n = \left(\frac21\right)\cdot\left(\frac54\right)\cdot\left(\frac{10}{9}\right)\cdot\left(\frac{17}{16}\right)\cdot\ldots\cdot\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)=\prod^n_{k=1}\left(\frac{k^2+1}{k^2}\right)$$ He estado tratando de encontrar una fórmula para $Q_n$ , creo que deben saber que antes de que yo pueda seguir adelante con la prueba? Me hizo tratar de escribir $Q_n$: $$Q_n = \left(1+\frac{1}{1^2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\left(1+\frac{1}{3^2}\right)\ldots\left(1+\frac{1}{n^2}\right)$$Pero eso no es realmente ayudarme a encontrar una fórmula o de la prueba. Cualquier ayuda sería genial.
Respuesta
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El punto de inducción es que usted no necesita encontrar una mejor fórmula para $Q_n$. Se ha demostrado el caso base para $n=2$ conectándolo y verificación. Usted, a continuación, supongamos que es cierto para $Q_n$, y a continuación, sólo tiene que demostrar que $Q_{n+1}\geq \frac{10}{3}-\frac{5}{3(n+1)}$ sigue de $Q_n\geq \frac{10}{3}-\frac{5}{3n}$. No ayuda a ver que $Q_{n+1}=\left(1+\frac{1}{(n+1)^2}\right)Q_n$. Conecte el obligado tiene por $Q_n$ y luego de simplificar. Esto equivale a mostrar que la
$$\left(1+\frac{1}{(n+1)^2}\right)\left(\frac{10}{3}-\frac{5}{3n}\right)\geq\frac{10}{3}-\frac{5}{3(n+1)}$$
