Hay una forma monotónica discontinua sobre algunos denso conjunto?

Question

El problema (para divertirse-no a la tarea)

Podemos construir una función monotónica $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de manera tal que hay un denso conjunto en algún intervalo $(a,b)$ que $f$ es discontinua en todos los puntos en el denso conjunto? ¿Qué estrictamente monótona de la función?

Mi intuición me dice que una función de este tipo es imposible.

Aquí es un boceto de un intento de demostrar que esa función no existe: se podría suponer una función que satisface estas condiciones. Tomar una $\epsilon > 0$ y dos puntos de $x,y$ en este denso conjunto tal que $x<y$. A continuación, $f(x)<f(y)$ porque si son iguales, entonces la función es constante en todos los puntos en el medio, y hay otro elemento de $X$$x$$y$, lo cual es una contradicción. Tome $f(y)-f(x)$. Por el Arquímedes de la propiedad de los reales, $f(y)-f(x)<n\epsilon$ algunos $n$.

Sin embargo, después de este punto, estoy atascado. Podría de alguna manera nos partición $(x,y)$ a $n$ subintervalos y a la conclusión de que debe haber algún punto en el denso conjunto que es continua?

Answer 1

Una función de este tipo es posible.

Deje $\Bbb Q=\{q_n:n\in\Bbb N\}$ ser una enumeración de los números racionales, y definir

$$f:\Bbb R\to\Bbb R:x\mapsto\sum_{q_n\le x}\frac1{2^n}\;.\tag{1}$$

La serie $\sum_{n\ge 0}\frac1{2^n}$ es absolutamente convergente, por lo $(1)$ tiene sentido. Si $x<y$, hay algunos racional $q_n\in(x,y)$, y claramente $f(y)\ge f(x)+\frac1{2^n}$, lo $f$ es monótona creciente. Sin embargo, $f$ es discontinua en cada racional:

$$\lim_{x\to {q_n}^-}f(x)=\sum_{q_k<q_n}\frac1{2^k}<\sum_{q_k\le q_n}\frac1{2^k}=f(q_n)\;.$$

Por lo tanto, $f$ es discontinua en un conjunto que es denso en $\Bbb R$ (y en cada intervalo abierto de $\Bbb R$).