Sabemos que la gravedad acelera un cuerpo; por ejemplo, un meteorito que entra en la tierra es constantemente acelerado por la gravedad terrestre. Y por la relatividad sabemos que la luz se curva cerca de un cuerpo masivo, porque la ley de gravitación de Newton es sólo una aproximación y en realidad la gravedad depende de la energía y del momento. Así que mi pregunta es: Si un rayo de luz se dirige exactamente al centro de un cuerpo, ¿se acelerará como un meteorito? Y si se acelera, ¿no superará el límite de velocidad universal de 3.00.000 km/s (aproximadamente)?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si un rayo de luz se dirige exactamente al centro de un cuerpo, entonces se acelera como un meteoro?
Respuesta corta: no. Sin embargo, al caer en un campo gravitatorio, el impulso de la luz aumenta.
Algunos antecedentes...
En la mecánica newtoniana, la tasa de cambio de momento de una partícula (masiva) es proporcional a la aceleración:
$$\frac{d\vec p}{dt} = m \vec a $$
En la mecánica relativista, estas cantidades no son proporcionales. De hecho, una partícula masiva en aceleración nunca puede alcanzar la velocidad $c$ pero el impulso puede alcanzar valores arbitrariamente grandes.
Esto se debe a que el momento relativista es un no lineal función de la velocidad
$$\vec p = \frac{m \vec v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
que diverge como $v \rightarrow c$ .
En el caso especial de una partícula sin masa, que debe viajar a la velocidad $c$ en todos los marcos, el numerador y el denominador en lo anterior son cero por lo que, por esta fórmula, el momento de una partícula sin masa es indeterminado.
Sin embargo, la relación energía-momento relativista
$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 $$
da el momento de una partícula sin masa:
$$p = \frac{E}{c} $$
Así, el impulso puede cambiar aunque la velocidad no . Al caer de un potencial más alto a un potencial más bajo, la partícula sin masa gana energía y, por tanto, momento pero no la velocidad adicional .
Para la luz, el momento y la frecuencia son proporcionales:
$$p = \frac{h\nu}{c} $$
por lo que, mientras el velocidad de la luz no aumenta al caer, el frecuencia de la luz aumenta. Del artículo de Wikipedia " Blueshift ":
Los fotones que salen de un objeto gravitatorio pierden energía. Esta pérdida de energía se conoce como "corrimiento al rojo", ya que los fotones en el espectro visible aparecen más rojos. Del mismo modo, los fotones que caen en un campo gravitatorio se vuelven más energéticos y muestran un desplazamiento hacia el azul
Jason Goemaat
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101
La respuesta corta se ha dado varias veces en los comentarios: la gravedad sólo curva la luz, no la acelera. Por supuesto, esta afirmación en sí misma es inútil si se quiere entender la naturaleza. Así que profundicemos un poco más. Para entender por qué la gravedad actúa así, el primer paso es el principio de equivalencia. Ahora bien, hay varias versiones de éste, pero nos fijaremos en el Principio de Equivalencia Débil (WEP) y en el Principio de Equivalencia de Einstein (EEP) en particular.
Masa inercial y masa gravitatoria
Toda partícula tiene una masa, lo que hace necesario aplicar una fuerza sobre ella para cambiar su velocidad (hacer que se mueva). En otras palabras, existe una relación entre la fuerza aplicada y el cambio de velocidad, y la constante de proporcionalidad es lo que llamamos la masa de inercia (determina exactamente lo difícil que es cambiar la velocidad de la partícula). Esta afirmación se resume en la segunda ley de Newton:
$$\vec{F} = m_i\vec{a}$$
Ahora, en un campo gravitatorio (estático) $\Phi(\vec{r})$ Tenemos la ley de gravitación de Newton, que básicamente establece que la fuerza que siente una partícula en este campo es proporcional al gradiente del campo. En este caso llamamos a la constante de proporcionalidad la masa gravitacional $m_g$ :
$$\vec{F} = m_g\vec{\nabla}\Phi$$
A priori, no es necesario que estas dos constantes de proporcionalidad tengan relación alguna entre sí. Sin embargo, los experimentos han demostrado que, de hecho, están lo mismo .
El principio de equivalencia
El Principio de Equivalencia Débil (WEP) se reduce a la afirmación $m_g = m_i$ (la masa gravitacional es numéricamente igual a la masa inercial). $^1$ Como ya se ha mencionado, se trata de una observación experimental bien conocida. La más famosa fue la realizada por Galilei y por la tripulación del Apolo 15 en la Luna, pero la más precisa fue la de los experimentos de torsión de Eötvös y otros similares posteriores. La conclusión es la siguiente: todas las partículas (puntuales) caen a la misma velocidad en un campo gravitatorio, independientemente de su masa. O bien: la "carga gravitatoria" es universal, es decir, la misma para todas las partículas.
Esto sugiere que podemos ver la gravedad como algo especial. Ya que la "carga gravitacional" es la misma para todas las partículas, nada no se ve afectado por la gravedad. Por lo tanto, no existe un objeto "gravitatoriamente neutro" con respecto al cual podamos medir de forma fiable la aceleración debida a la gravedad. Llegamos a la conclusión de que debemos abandonar la noción de aceleración debida a la gravedad y definir "no acelerado" como "que cae libremente", es decir, que está sujeto únicamente a la gravedad. Esto significa que la gravedad no provoca una aceleración en el sentido habitual y que, según nuestra definición de la noción, no es una fuerza.
El Principio de Equivalencia de Einstein se deduce simplemente de la extensión del argumento del movimiento de las partículas en caída libre a toda la física. La EEP es entonces una extrapolación natural de la WEP:
En regiones suficientemente pequeñas del espaciotiempo, las leyes de la física se reducen a las de la relatividad especial; es imposible detectar la existencia de un campo gravitatorio mediante experimentos locales.
La EEP es en lo que se basa la RG y, como se ha mencionado antes (todo lo que era consecuencia de la PME es también consecuencia de la extensión que es la EEP), significa que ya no pensamos en la gravedad como una fuerza y que nos lleva a definir "no acelerada" como "de caída libre". Esto tiene algunas consecuencias profundas en la forma de hacer física y, en particular, en la forma de medir las distancias, las velocidades, ... Pero no es en eso en lo que me voy a centrar aquí.
Espaciotiempo curvo
Para incorporar las conclusiones de la EEP a nuestra teoría física (lo más relevante para nosotros es el hecho de que la gravedad no es un campo de fuerza que se propaga a través del espaciotiempo, sino que parece ser una propiedad inherente a la propia naturaleza) tenemos que ajustar nuestro modelo del universo físico. Así, imaginamos que el espaciotiempo es curvo. Suponemos que tiene una geometría curvada y que la gravedad es una manifestación de esa curvatura.
La descripción matemática de este espaciotiempo curvo será lo que se conoce como colector diferenciable . No es necesario entrar en detalles aquí, pero para nuestro entendimiento una variedad (diferenciable) es simplemente un espacio que se parece localmente al plano real $\mathbb{R}^2$ pero podría ser muy diferente a escala global. Esto se corresponde bien con lo que la EEP requiere para nuestro modelo físico: una geometría global general y curvada que localmente parece un espacio plano.
Ahora bien, en el espacio plano sabemos a qué se refiere la gente cuando dice "una línea recta": una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos. Sin embargo, las cosas se complican un poco más en las geometrías generales. De nuevo, no es necesario entrar en detalles, pero podemos generalizar la idea de una línea recta al espaciotiempo curvo y llamamos a esta generalización la geodésico . Las geodésicas en el espacio plano son líneas rectas, en el espaciotiempo curvo son menos sencillas pero pueden determinarse a partir de la métrica del espaciotiempo en cuestión.
La idea es que las partículas que caen libremente siguen estas geodésicas. Más concretamente: hay tres tipos de geodésicas: la temporal, la luminosa (o nula) y la espacial. De nuevo, no quiero entrar en detalles, pero las partículas físicas están restringidas a moverse en trayectorias semejantes a las del tiempo y, por tanto, seguirán geodésicas semejantes a las del tiempo cuando no haya otras fuerzas actuando sobre ellas. La luz siempre sigue geodésicas similares a la luz. Las geodésicas espaciales son inalcanzables para las partículas físicas, ya que requieren un viaje más rápido que la luz.
Curvatura de la luz y cambio de frecuencia gravitacional
Ahora, supongamos que un rayo de luz se acerca a un objeto masivo, como nuestro querido sol. En las proximidades del sol el espaciotiempo está fuertemente curvado y, por tanto, también lo están las geodésicas. En consecuencia, el rayo de luz se curvará alrededor del sol, algo que nunca se esperaría de una partícula sin masa en la mecánica newtoniana. De hecho, este experimento fue una de las primeras confirmaciones de la RG.
Otra consecuencia de la EEP es bastante independiente de la noción de geodésica. Imaginemos un experimento en el que tenemos dos cohetes con una aceleración idéntica y uniforme a una distancia constante (pequeña) el uno del otro. Si el cohete de cola envía un fotón que es recibido por el cohete de cabeza algún tiempo después, este último habrá ganado algo de velocidad mientras tanto y se producirá un desplazamiento Doppler.
Sin embargo, dado que la EEP establece que no deberíamos ser capaces de distinguir entre la aceleración uniforme y la gravitación, el mismo efecto debería surgir si realizamos lo siguiente experimento . Imagina que dos físicos están en reposo en el campo gravitatorio (estático) de la Tierra: uno en la superficie, el otro a una (pequeña) altura sobre ella (en una torre). Si el primer físico envía un fotón hasta la torre, es de esperar que el segundo mida también un corrimiento al rojo. De hecho, se ha medido este efecto de corrimiento al rojo cuando un fotón sale de un pozo de potencial gravitatorio, así como el caso inverso en el que un fotón cae en el pozo (Alfred lo explica muy bien).
Resumen
Así que en conclusión: la razón por la que los rayos de luz se curvan en presencia de una gran masa (energía) es que el espaciotiempo está fuertemente curvado allí y esto hace que las geodésicas se curven en lugar de ser rectas. Dado que la gravedad no debe considerarse como una fuerza, esto no se debe a una aceleración de los fotones en el sentido habitual. Del mismo modo, no deberíamos pensar que un fotón que cae en un pozo de potencial gravitatorio se acelera en el sentido habitual, sino que su frecuencia cambia, como ilustra Alfred en su respuesta .
$^1$ Una declaración alternativa, más precisa, del PME es:
En regiones suficientemente pequeñas del espaciotiempo, el movimiento de las partículas en caída libre es el mismo en un campo gravitatorio y en un marco uniformemente acelerado.
Tenga en cuenta que he añadido el calificador en regiones del espaciotiempo suficientemente pequeñas , lo cual es necesario ya que en general un campo gravitatorio varía espacialmente y así la diferencia con un marco uniformemente acelerado podría detectarse en regiones extendidas del espaciotiempo.
Gary Godfrey
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Esta pregunta tiene una vuelta de tuerca. Como ya han respondido otros, la gravedad no cambia la velocidad local de la luz cuando pasa por delante de ti como un meteorito.
Sin embargo, la gravedad sí cambia la velocidad aparente de la luz que se ve si pasa a través de un potencial gravitatorio diferente al suyo. Por ejemplo, vemos que los pulsos de radar tardan más en rebotar en Venus y volver a la Tierra cuando el Sol está cerca de la trayectoria de los fotones del radar (retraso de Shapiro). Interpretamos esto como que la luz se ralentiza al pasar por las profundidades del potencial gravitatorio del Sol y podemos incluso calcular la curvatura de la luz por la parte de la onda más alejada del Sol que va un poco más rápido que la onda más cercana al Sol (como la refracción en una interfaz). Del mismo modo, si estuviéramos en las profundidades del potencial gravitatorio del sol cronometrando el paso de la luz lejana, deduciríamos que se ha acelerado a una velocidad mayor que nuestra c local estándar.
