Hace un homeomorphism entre dos compacto métrica espacios de preservar la apertura de las pelotas?

Question

Más específicamente, si $X$ $Y$ son compactos métrica espacios, y hay un $\phi: X \to Y$ un homeomorphism, entonces es cierto que $\phi^{-1}(B(\phi(x),r))= B(x,r)$ ? Si es así, ¿cómo? Gracias de antemano!

Answer 1

No necesariamente. Para esto, se necesita una isometría.

Considere la posibilidad de $X=Y=[0,1]$ con la métrica usual. Entonces para cualquier entero $n>1,$ el mapa de $x\mapsto x^n$ es un homeomorphism, pero no preservar la apertura de bolas.

Answer 2

No: Considere el $(x,y,z) \mapsto (3x,y,z).$ Que es un homeomorphism de $\mathbb R^3$ a sí mismo, y cambios en las esferas de elipsoides.

Pues bien uno quiere un ejemplo en el que el espacio es compacto.

Deje que el espacio se $\{z \in \mathbb C : |z| = 1\}.$

Deje que las distancias se longitudes de arco a lo largo de este círculo.

Deje $f(z) = \dfrac{2z+1}{z+2}.$

Lo voy a dejar como un ejercicio para ver que esto es un homeomorphism de este espacio.

Se asigna a $1$ a $1,$ $-1$ a $-1,$ $i$ $(4+3i)/5.$La distancia entre el $1$ $i$ es mayor que la distancia entre el $f(1)$ $f(i).$

Answer 3

Deje $X$ el conjunto de vértices de un triángulo isósceles rectangular, y deje $Y$ el conjunto de vértices de un triángulo equilátero. A continuación, $X$ $Y$ son homeomórficos compacto métrica espacios, sino $X$ $6$ abierto bolas, mientras que $Y$ sólo ha $4.$

Answer 4

Las métricas $d_1((x,y),(x',y'))=((x-x')^2+(y-y')^2)^{1/2}$ $d_2((x,y),(x',y'))=\max (|x-x'|,|y-y'|)$ generan la misma topología en $\mathbb R^2.$

Por lo $id_{\mathbb R^2}$ es un homeomorphism de $(\mathbb R^2,d_1) $ $\mathbb R^2,d_2).$Pero $d_1$-pelotas son redondas y $d_2$-pelotas son cuadradas.