Demostrar que $f=x^6+ax+5$ es reducible sobre $\mathbb{Z_7},\forall a\in\mathbb{Z_7}$

Question

Tenemos $f=x^6+ax+5\in\mathbb{Z_7}$ y tenemos que demostrar que es reducible en $\mathbb{Z_7}$ , $\forall a\in\mathbb{Z_7}$ . Aquí están todos mis pasos:

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Para $a=0$ obtendremos $f=x^6+5\in\mathbb{Z_7}$ . Pero $\forall x\in\mathbb{Z_7}$ con $x\neq0\Rightarrow x^6=1$ . Por lo tanto, $f\neq0$ y significa que $f$ no tiene factores lineales. ¿Cómo podemos continuar desde aquí?

Para $a\neq0$ y $x\neq0$ obtendremos $f=ax+6$ , $\forall x\in\mathbb{Z_7}$ . Aquí la única solución para la que $f$ es reducible sobre $\mathbb{Z_7}$ es para $x=a^{-1}$ . Pero si $x\neq a^{-1}$ entonces $ f$ no es reducible sobre $\mathbb{Z_7}$ .

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¿Cómo puedo demostrar que $f$ es reducible sobre $\mathbb{Z_7},\forall a\in\mathbb{Z_7}$ ? ¿En qué me equivoco?

Answer 1

Como ha dicho, si $a \neq 0$ tenemos $f(a^{-1})=0$ lo que significa que $f$ tiene una raíz y por lo tanto es reducible [ $x-a^{-1}$ es un factor].

Si $a=0$ hay que tener en cuenta $x^6+5$ . Para ello, tenga en cuenta que $5 \equiv -100 \pmod{7}$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $f(a^{-1})=0$ como ya se ha apuntado antes, cuando $a$ no es $0$ . Entonces sabemos que $(x-a^{-1})$ es un factor. Podemos hacer una aproximación de "completar la sexta" en la función de la siguiente manera:

$f(x) = (x-a^{-1})(x^5) = x^6-a^{-1}x^5$

$f(x) = (x-a^{-1})(x^5+a^{-1}x^4) = x^6 + a^{-2}x^4$

Verifique que $f(x) = (x-a^{-1})(x^5+a^{-1}x^4+a^{-2}x^3+a^{-3}x^2 + a^{-4}x + 2a) = x^6-a^{-5}x + 2ax - 2= x^6-ax + 2ax +5 = x^6+ax+5$

El último $2a$ vino de la observación de que $a^{-1}$ era una raíz de ambos $x^6-ax$ y $x^6+ax+5$ , lo que significa que las dos funciones eran algún múltiplo de $(x-a^{-1})$ entre sí.

Además, cuando $a=0$ necesitamos factorizar $f(x) = x^6+5 = x^6-9 = (x^3+3)(x^3-3)$ .

Answer 3

Ha resuelto el $a\neq 0$ caso con la excepción de decir que $x=a^{-1}$ es la solución y no hace falta decir más sobre este caso; tomando sólo la $a=0$ caso, tenemos inmediatamente $f(x)=x^6+5\equiv 6\pmod 7$ para todos $x$ y por lo tanto no hay factores lineales en este caso. Sin embargo, tenemos que $5=14-9=-9+2\cdot 7\equiv -9 \pmod 7$ . Esto nos lleva a

$$f(x)=x^6+5\equiv x^6-9\pmod 7$$

$x^6-9$ es una diferencia de cuadrados como $(x^3)^2$ y $3^2$ , lo que lleva a la factorización $x^6-9=(x^3+3)(x^3-3)$ . El hecho de que no haya factores lineales sugiere que $3,-3$ son ambos no-residuos cúbicos módulo $7$ y es fácil comprobar que los únicos residuos cúbicos módulo $7$ son $\{-1,1\}$ .