Tenemos $f=x^6+ax+5\in\mathbb{Z_7}$ y tenemos que demostrar que es reducible en $\mathbb{Z_7}$ , $\forall a\in\mathbb{Z_7}$ . Aquí están todos mis pasos:
Para $a=0$ obtendremos $f=x^6+5\in\mathbb{Z_7}$ . Pero $\forall x\in\mathbb{Z_7}$ con $x\neq0\Rightarrow x^6=1$ . Por lo tanto, $f\neq0$ y significa que $f$ no tiene factores lineales. ¿Cómo podemos continuar desde aquí?
Para $a\neq0$ y $x\neq0$ obtendremos $f=ax+6$ , $\forall x\in\mathbb{Z_7}$ . Aquí la única solución para la que $f$ es reducible sobre $\mathbb{Z_7}$ es para $x=a^{-1}$ . Pero si $x\neq a^{-1}$ entonces $ f$ no es reducible sobre $\mathbb{Z_7}$ .
¿Cómo puedo demostrar que $f$ es reducible sobre $\mathbb{Z_7},\forall a\in\mathbb{Z_7}$ ? ¿En qué me equivoco?