Deje $n>2$ $A \in M_n(\mathbb{R})$ $\{-1,1\}$- de la matriz cuyos elementos son de $-1$ o $1$). Deje $b\in\mathbb R^n$ contiene el modo de fila cuenta de menos en $A$ ($b_i$ es el número de los menos queridos en el $i$-ésima fila de a $A$).
Supongamos $Av = b$. Probar o refutar que si $Ax=0$ tiene sólo la solución trivial, a continuación, $v$ tiene al menos dos elementos idénticos. Por ejemplo, $$ A = \pmatrix{1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\\ -1 & -1 & 1}, \ b=\pmatrix{0\\ 1\\ 2}, \ v=\pmatrix{-\frac12\\ -\frac12\\ 1}. $$ No podía encontrar un contraejemplo, así que por el momento estoy asumiendo que es cierto. Tal vez la más pertinente problema que estoy teniendo es no saber por dónde empezar, dada la peculiar estructura de la matriz y de $b$. He considerado demostrando el contrapositivo (si $v_1 = \ ...\ = v_n$, entonces existe algún valor distinto de cero/no trivial solución a $Ax = 0$), pero yo no entiendo mucho con eso. Les agradezco a todos la ayuda, incluso si es sólo un empujón en la dirección correcta (o si alguien encuentra un contraejemplo).
Gracias por su amabilidad!
Edit: además, no he encontrado un contraejemplo para el caso de que cada una de las $a_{ij}$ es $-\delta$ o $\delta$$\delta \in \mathbb{R}$, por lo que si la declaración inicial es cierto, algo que se apunte a este hecho sería óptimo (o al menos interesante). Gracias de nuevo!
