Clausura Proyectiva de los Límites de la categoría de los Cubrimientos de un Espacio Topológico

Question

Deje $X$ ser conectado a un espacio topológico, y $C_{finite}$ el categoría de su finita revestimientos. Entonces me afirmación de que la categoría de $C$ de revestimientos de $X$ puede ser obtenida por $C_{finite}$ tomar proyectiva de los límites y de los distintos sindicatos.

Desde proyectiva límites y distintos sindicatos de conmutar la sentencia es reducido a decir que $A:= \varprojlim A_i$, donde cada una de las $A_i$ es un finito de cubierta, es en sí mismo un cubriendo el espacio de $X$. Para la prueba este es mi problema: se ha Corregido un punto de $x\in X$, y un punto de $\{y_i \en A_i\} \en$ of the fiber over $x$, entonces tengo que encontrar una abierta barrio de $x\in U \subset X$ que es homeomórficos a un conveniente vecindario $V$$\{y_i\}\in A$.

El pasaje es problemático porque, si los límites se toma más de un infinito conjunto de índices $I$, entonces no puedo más que restringir este vecindario $U$ en la forma más conveniente para cada una de las $A_i$ (Infinito intersección de abre no puede ser abierto).

Hay una manera de saltarse este problema? O mi reclamo es simplemente un error?

Probablemente en la solución va a ser útil o necesario) restringir a una base del espacio de $X$ que admite un universal que cubre, es decir, es localmente ruta de acceso conectado y semi-localmente simplemente conectado.

Edit: me olvidé de mencionar el hecho siguiente, que justifican mi reclamación. Si $X$ admite un universal que cubre, entonces se puede obtener como proyectivas de límite finito (normal) revestimientos de $X$.

Answer 1

No veo cómo su reclamo de obras, incluso en el caso simple donde $X$ es un círculo. El universal cubrir el espacio es la línea real, liquidación infinitamente a menudo alrededor del círculo. La fibra sobre cualquier punto de la circunferencia es un countably infinito espacio discreto. Pero un proyectivas de límite finito de revestimientos, como lo que puedo ver, tiene fibras que son proyectivas de los límites de finito de conjuntos, de modo que las fibras sería compacto.