Cómo calcular $\sum_{r=1}^\infty\frac{8r}{4r^4+1}$ ?

Question

Calcula la siguiente suma: $$\frac{8(1)}{4(1)^4+1} + \frac{8(2)}{4(2)^4+1} +\cdots+ \frac{8(r)}{4(r)^4+1} +\cdots+ \text{up to infinity}$$

MI PRUEBA:- Tomé $4$ común del denominador. y utilizado $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ . Me dio dos paréntesis, cuya resta estaba escrita en numerador. así que hice lo mismo que hacemos en el método de la fracción parcial, y empecé a poner $1,2,3$ y así sucesivamente. mi respuesta vino no coincidió con la respuesta correcta.

Answer 1

Podemos escribir la suma como:

$$\sum _{r=1}^{\infty} \frac{8r}{4r^4+1}$$

$$= \sum _{r=1}^{\infty} \frac{8r}{(2r^2 - 2r + 1)(2r^2 + 2r + 1)}$$

$$= \sum _{r=1}^{\infty} \frac{2}{2r^2 - 2r + 1} - \frac{2}{2r^2 + 2r + 1}$$

$$= \sum _{r=1}^{\infty} \frac{2}{2r^2 - 2r + 1} - \frac{2}{2(r + 1)^2 - 2(r + 1) + 1}$$

$$=\frac{2}{2\cdot1^2 - 2\cdot1 + 1}$$

$$ = 2$$

Answer 2

Sugerencia

$$4(r)^4+1=(2r^2+1)^2-(2r)^2=(2r^2-2r+1)(2r^2+2r+1)$$

y utilizar la descomposición parcial de fracciones.

Answer 3

Pista. La suma es telescópica. Observa que $4r^4+1=(2r^2-2r+1)(2r^2+2r+1)$ y $$\frac{8r}{4r^4+1}=\frac{2}{2r(r-1)+1}-\frac{2}{2(r+1)r+1}.$$ Por lo tanto $$\sum_{r=1}^n\frac{8r}{4r^4+1}=\sum_{r=1}^n\left(\frac{2}{2r(r-1)+1}-\frac{2}{2(r+1)r+1}\right)=\frac{2}{2\cdot 1(1-1)+1}-\frac{2}{2(n+1)n+1}.$$ ¿Puedes encontrar ahora la suma de las series?

Answer 4

Sea el término general $\frac {8r}{4r^4+1}=\frac {2r}{r^4+(\frac {1}{2})^2}=\frac {2r}{(r^2+\frac {1}{2})^2-r^2} =\frac {2r}{(r^2+\frac {1}{2}-r)(r^2+\frac {1}{2}+r)} $ ahora $2r=r^2+\frac {1}{2}+r-(r^2+\frac {1}{2}-r) $ por lo que la serie iur es telescópica y es igual a $S=\sum _0^{\infty} \frac {1}{r^2+\frac {1}{2}-r}-\frac {1}{r^2+\frac {1}{2}+r}=2$

Answer 5

Podemos utilizar la descomposición en fracciones parciales para escribirlo como \begin{align}\sum_{n=1}^\infty \frac{8n}{4n^4+1}&=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{2}{2 n^2 - 2 n + 1} - \frac{2}{2 n^2 + 2 n + 1}\right)\end{align}

Si empezamos a escribir términos de esta secuencia, obtenemos \begin{array}{ccccccccccc}(n=1)&2&-&\frac{2}{5}\\ (n=2)&&+&\frac 25&-&\frac 2{13}\\ (n=3)&&&&+&\frac 2{13}&-&\frac 2{25}\\ &&&&&&+&\cdots\\ (n=\infty)&&&&&&&+&\frac{2}{2\infty^2-2\infty+1}&-&\frac{2}{2\infty^2+2\infty+1}\end{array}

Por lo tanto, tenemos una secuencia telescópica, por lo que la suma es:

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{8n}{4n^4+1}=2-\frac{2}{2\infty^2+2\infty+1}$$

Podemos verlo, $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{2n^2+2n+1}=0$$

Por lo tanto, $$\sum_{n=1}^\infty\frac{8n}{4n^4+1} = 2$$