Muestran que la densidad posterior de ($\mu$, $\tau$) es igual a $f(\mu, \tau | x_1, ..., x_n) = f(\mu| \tau, x_1,...,x_n)f(\tau|x_1,...x_n)$

Question

Aquí está todo el problema:

Deje $X_1,...,X_n$ ser una muestra aleatoria de un $N(\mu,\sigma^2)$ distribución. Deje $\tau = \sigma^{-2}$, por lo que podemos escribir a la distribución como $N(\mu,\tau^{-1})$.

Supongamos que el anterior para $(\mu,\tau)$ tiene una densidad de $f(\mu,\tau) \propto 1$, $-\infty < \mu < \infty$, $0 < \tau < \infty$. Tenga en cuenta que esta es una mala antes de la densidad.

Mostrar que la parte posterior de la densidad de $(\mu,\tau)$ es igual a:

$$f(\mu, \tau|x_1,...,x_n) = f(\mu|\tau,x_1,...,x_n) f(\tau|x_1,...,x_n)\;.$$

donde

$$f(\mu|\tau,x_1,...,x_n) \sim N(\bar{x},(\tau \ n)^{-1})\;$$

y

$$f(\tau|x_1,...,x_n) \sim \text{Gamma}(\frac{n-1}{2},(\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{2})^{-1})$$

He intentado descomponer el problema usando el método Bayesiano, pero estoy teniendo problemas para averiguar cómo se puede "dividir" la densidad. Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí están algunos consejos:

1. El uso de $f(y,z|-) = f(y|z,-) f(z,|-)$

2. Para averiguar el total condicional de las distribuciones posteriores $f(\mu|-)$ $f(\tau|-)$ usted debe hacer lo siguiente:

   Para $f(\mu|-)$: Escriba el total posterior y, a continuación, trabajar con los términos que involucran $\mu$ y re-escribir los términos de tal manera que la siguiente expresión:

   $$f(\mu|-) \propto \text{exp}( -\frac{(\mu-\bar{x})^2}{2 (\tau \ n)^{-1}})$$

   Usted tendrá que usar un poco de álgebra para volver a trabajar en las condiciones de la plena posterior para llegar a la expresión anterior. Una vez que llegue aquí inmediatamente reconocer que la normalización de la constante ha de ser tal que el resultado de la completa condicional debe ser de una densidad normal con la media y la varianza como la dada en el problema.

   Repita el proceso anterior para $f(\tau|-)$ para llegar a la gamma, densidad.