Morfismo inducido en los grupos de cohomología

Question

Sea $f: X \rightarrow Y$ un morfismo de variedades y $\mathscr F$ una gata (quizás de grupos abelianos) sobre $Y.

¿Induce $f$ un morfismo $H^i(Y,\mathscr F) \rightarrow H^i(X,f^{-1}\mathscr F)$? En caso afirmativo, ¿cómo se define este morfismo?

Si $f$ es un mapa de cobertura, o más exactamente, un recubrimiento finito de Galois, ¿este morfismo inducido siempre es inyectivo? Si no lo es, ¿qué restricciones adicionales son necesarias para garantizar su injectividad?

Saludos.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f^{-1}$ es un funtor exacto, vea por ejemplo

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_image_functor

Esto implica que el mapa $H^i(Y,\mathcal{F})\rightarrow H^i(X,f^{-1}\mathcal{F})$ es un isomorfismo. Este mapa se define de la siguiente manera.

Sea $$0\rightarrow\mathcal{F}\rightarrow I^0\rightarrow I^1\rightarrow\cdots$$ una resolución inyectiva de haces en $Y$. Dado que $f^{-1}$ es exacto, $$0\rightarrow f^{-1}\mathcal{F}\rightarrow f^{-1}I^0\rightarrow f^{-1}I^1\rightarrow\cdots$$ es una resolución inyectiva en $X$. Ahora simplemente corte $\mathcal{F}$ o $f^{-1}\mathcal{F}$, aplique el funtor de secciones globales y obtendrá complejos $$0\rightarrow\Gamma(Y,I^0)\rightarrow\Gamma(Y,I^1)\rightarrow\cdots$$ y $$0\rightarrow\Gamma(X,f^{-1}I^0)\rightarrow\Gamma(X,f^{-1}I^1)\rightarrow\cdots$$ Hay unos mapas naturales (provenientes de la definición de $f^{-1}$) $$\Gamma(Y,I^k)\rightarrow\Gamma(X,f^{-1}I^k)$$ que puede verificar que conmuta con los mapas entre las piezas de cada complejo, y así descienden a un mapa en la cohomología.

Tenga en cuenta que las cosas se complican un poco si $\mathcal{F}$ es un haz de módulos $\mathcal{O}_Y$, y está tomando $f^*$ en lugar de $f^{-1}$. En este caso, $f^*$ es exacto si y solo si $f$ es plano.