Cómo probar$\gcd(dm,dn)=d\cdot\gcd(m,n)$

Question

Quiero probar la siguiente ecuación: $$(dm, dn) = d\cdot(m,n)$$ donde $$(m, n) = \gcd(m,n) \\ (dm, dn) = \gcd(dm,dn)$$ he intentado esto: $$(dm, dn) \rightarrow \exists g_1 \in Z: g_1 | dm, g_1 | dn \rightarrow g_1 | (dm\cdot x + dn\cdot y) \rightarrow g_1 | d\cdot (mx + ny) \\ \rightarrow g_1 = \frac {d\cdot (mx + ny)} {t}$$ y el mismo $(m,n)$: $$g_2 = \frac {mx + ny} {t}$$ si insertan $g_1$ $g_2$ obtener: $$d\cdot\frac {mx + ny} {t} = d\cdot \frac{mx+ny}{t}$$

¿Es esto correcto?

Answer 1

También pueden deducir por lema de Bézout:

Poner $g:=(m,n)$ y $G:=(dm,dn)$. Existen enteros $a,b$ tal que % $an+bm=g.$

Por lo tanto $a(dn)+b(dm)=dg$, lo que implica que el $G|dg$.

Por otra parte, desde $g|m$ y $g|n$ obtenemos $dg|dm$ y $dg|dn$. Por lo tanto, $dg|G$ y $G=dg$.

Answer 2

$\gcd$ Es el producto de los factores primeros de los dos números, con su multiplicities mínimos.

Multiplicando ambos por un tercer número aumenta las multiplicidades idénticamente y el mínimo del mismo modo (por $\min(a+c,b+c)=\min(a,b)+c$).

Answer 3

Creo que no has demostrado que el dos $t$-s son los mismos. Pruebe a utilizar la fórmula que $\mbox{lcm}(a,b)\cdot\gcd(a,b)=ab$ resolver $\gcd(dm,dn)$.