Cómo encontrar la integral $I=\int_{-R}^{R}\frac{\sqrt{R^2-x^2}}{(a-x)\sqrt{R^2+a^2-2ax}}dx$

Question

Encuentra la integral:

$$I=\int_{-R}^{R}\dfrac{\sqrt{R^2-x^2}}{(a-x)\sqrt{R^2+a^2-2ax}}\;\mathrm dx$$

Mi intento:

Dejemos que $x=R\sin{t},\;t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ entonces, $$I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{R\cos{t}}{(a-R\sin{t})\sqrt{R^2+a^2-2aR\sin{t}}}\cdot R\cos{t}\;\mathrm dt$$ Así que.., $$I=R^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{\cos^2{t}}{(a-R\sin{t})\sqrt{R^2+a^2-2aR\sin{t}}}\;\mathrm dt$$

¿Quizás lo siguiente pueda ser la función Gamma? Pero no puedo encontrarla. Gracias alguien puede ayudarme.

Answer 1

La segunda línea del PO es $$I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos^2 t} {(\alpha -\sin t)\sqrt{1+\alpha^2-2\alpha \sin t}}dt$$ $$=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1-\sin^2 t} {(\alpha -\sin t)\sqrt{1+\alpha^2-2\alpha \sin t}}dt$$ donde $\alpha\equiv a/R$ . La descomposición de la fracción parcial da como resultado $$=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} [\sin t +\alpha+\frac{1-\alpha^2}{\alpha -\sin t}]\frac{1} {\sqrt{1+\alpha^2-2\alpha \sin t}}dt.$$ Entonces las tres integrales $$\int \frac{1}{\sqrt{a+b\sin x}}dx,$$ $$\int \frac{\sin x}{\sqrt{a+b\sin x}}dx,$$ y $$\int \frac{1}{(2-p^2+p^2\sin x)\sqrt{a+b\sin t}}dt$$ están tabuladas en términos de integrales elípticas como 2.571.1, 2.571.2 y 2.574.1 en las tablas de integrales de Gradsteyn-Rzyshik.