Publiqué la pregunta que decía que era semicontinua superior , pero que definitivamente estaba mal. Estoy tratando de demostrar una semicontinuidad inferior.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El resultado que estás buscando se puede encontrar en el libro de análisis Matemático: lineal y métrica de las estructuras y la continuidad de Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica como Teorema 11.3, p.396.
Voy a copiar su prueba aquí.
La configuración en el que están trabajando es un espacio métrico $(X,d)$.
La proposición Vamos $f_i:X\to\overline{\mathbb R}$, $i\in I$, ser una familia de la baja semicontinuo funciones en un espacio métrico $X$. A continuación, $f := \sup f_i $ es semicontinua inferior de la función.
Teorema. La longitud funcional de la $L(\varphi)$ es menor semicontinuo en $C^0([a,b],X)$.
Prueba. Recordar que tenemos $$L(\varphi)=\sup_{S\in\mathcal S} V_S(f),$$ donde $V_S(f)=\sum_i d(f(t_i),f(t_{i+1}))$, $S=\{t_0=a<t_1<\dots<t_N=b\}$. Desde el funcional $f\to V_S(f)$ es continua para todos los fijos de la subdivisión de la $S$$[a,b]$, el resultado de la siguiente manera.
También proporcionan un ejemplo simple que muestra que la longitud no es continua: Ejemplo 6.25, p.204.
Este resultado para funciones definidas en un intervalo cerrado $[0,1]$ se muestra en el Primer supuesto, en el análisis funcional por Casper Goffman, George .. Pedrick p.40.
BTW yo estaba tratando de demostrar esto a mí mismo. Cuando yo era incorrecta, he intentado buscar en google para la longitud de curva semicontinuo y me encontré con los dos anteriores referencias. (Y probablemente encontrará algunos otros si usted va a través de los resultados de búsqueda o si se intenta búsquedas similares.)
