Hellow, quiero describir todas las involuciones del anillo de matriz completa sobre el campo y todas las involuciones del anillo polinómico de la matriz. ¿Es verdadero o falso que cada involución del anillo de matriz completo$T = M_n(R)$ sobre el campo$R$ tenga la siguiente forma $$ A a C ^ {- 1} A ^ TC, $$ para todo$A\in M_n(R)$ y alguna matriz fija$C$? ¿Qué podemos decir sobre las involuciones del anillo matriz-polinomio$T[x]$?
Respuesta
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Cada involución de $T$ es de la forma $\phi(A)=C^{-1}\sigma(A^T)C$ para una matriz invertible $C$, y un campo automorphism $\sigma\colon R\to R$ satisfacción $\sigma^2=\iota$.
Tenga en cuenta que, para una involución $\phi$, $\theta\colon T\to T$ definido por $\theta(A)=\phi(A^T)$ es un anillo automorphism. Por lo $\theta$ preserva el centro de la $T$. Como el centro de la $T$ es los elementos de la diagonal $\lambda I$$\lambda\in R$, $\theta(\lambda I)=\sigma(\lambda)I$ para un campo automorphism $\sigma$. Como $\phi\phi(\lambda I)=\lambda I$,$\sigma^2(\lambda)=\lambda$. A continuación, $\chi(A)=\phi(\sigma(A^T))$ es un automorphism de $T$, que preserva $\lambda I$ por cada $\lambda\in R$, por lo que es un automorphism de $R$-álgebras. Por eso, $\chi$ es un interior automorphism, es decir, de la forma $\chi(A)=C^{-1}AC$ para una invertible $C$. Por lo tanto, $\phi(A)=C^{-1}\sigma(A^T)C$.
De hecho, $\phi\phi(A)=A$, lo $C^{-1}\sigma(C)^TA\sigma(C)^{-T}C=A$, mostrando que el $C^{-1}\sigma(C)^T$ está en el centro de la $T$, por lo que es igual a $\lambda I$ algunos $\lambda\in R$. Por eso, $C^T=\lambda \sigma(C)$. Tomando la transpuesta $C=C^{TT}=\lambda\sigma(C^T)=\lambda^2 C$. Por eso, $\lambda=\pm1$ y, o bien $C^T=\sigma(C)$ o $C^T=-\sigma(C)$.
