De la definición, $Y$ está desconectado si $Y=A\cup B,A,B\ne\emptyset A\cap B=\emptyset$ y $A,B$ son ambos abiertos. Así que para probar $\mathbb{Q}$ no está conectado, normalmente el libro de texto sugeriría $\mathbb{Q}\cap(-\infty,r)\bigcup\mathbb{Q}\cap(r,+\infty),r\in\mathbb{I}$ . También el libro de texto diría que la bola abierta del conjunto de números racionales no es conexa. Esta es mi pregunta.
En primer lugar, ¿por qué tenemos que considerar sobre $\mathbb{R}$ al probar $\mathbb{Q}$ ¿no está conectado? ¿No es necesario tener en cuenta $\mathbb{Q}$ ¿sólo? De hecho, si sólo consideramos $\mathbb{Q}$ No parece obvio y primero pensé que está conectado ya que no estoy seguro de cómo separarlo en 2 conjuntos separados. Por otra parte, si se considera sólo $\mathbb{Q}$ el único subconjunto cerrado en $\mathbb{Q}$ debe ser ella misma y $\emptyset$ ¿No es así? No he podido encontrar ningún subconjunto que sea cerrado en un conjunto racional.
En segundo lugar, si un conjunto que no te resulta familiar, ¿cómo puedes determinar realmente si está conectado o no? A veces el conjunto puede ser denso e intuitivamente me parece conectado, pero no siempre lo es. Algunos conjuntos ni siquiera son fáciles de imaginar, y mucho menos de determinar si están conectados.
Por último, ¿cómo se muestra el balón abierto $B\subset\mathbb{Q}$ no está conectado?
