Estoy estudiando un artículo que es el principal de la literatura cuando se trata de un no-desplazamientos gráfico : en este artículo. Originalmente, que no es un trabajo gráfico de un grupo (que se denota por a $\Gamma_G$) es un grafo cuyos vértices son los elementos del grupo y que están unidos por una arista si $[x,y]$ no es trivial, es decir, si no conmutan como elementos del grupo. El artículo que estoy estudiando que hacer un pequeño cambio: considerar los vértices de los elementos de la $G$ que no están en el centro, que es, $G-Z(G)$.
Mi problema es la prueba de
Preposición 2.4. Deje $G$ no abelian grupo y que $S$ un corte de $\Gamma_G$. Si $x$ $y$ dos vértices de $\Gamma_G$\ $S$ pertenecen a distintos componentes conectados, a continuación, $S$ es una unión de doble cosets de $C_G(x)\cap C_G(y)$. En particular, si $G$ es finito, entonces $\kappa(\Gamma_G)=t\mid Z(G)\mid$ donde $t>1$ es un número entero.
Prueba: Supongamos $H=C_G(x)\cap C_G(y)$ $a\in G$ tal que $HaH\cap S\neq\emptyset$. A continuación,$HaH\subseteq S$, es decir, si existen elementos de $h_1, h_2\in H$ tal que $h_1ah_2\notin S$, $\{x,h_1ah_2\}$ $\{y,h_1ah_2\}$ son los bordes de las $\Gamma_G$, una contradicción. Y sigue...
Bueno, tengo la contradicción, pero, ¿por qué si $h_1ah_2\notin S$, $\{x,h_1ah_2\}$ $\{y,h_1ah_2\}$ son bordes? Pude ver por qué, necesariamente, $[x,h_1ah_2]$ $[y,h_1ah_2]$ no son triviales en este caso.
Gracias!
