Encontrar todos los $23$ raíces de rd de un elemento de $S_{10}$

Question

Dada la permutación $$\sigma = \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ 1 &2 &3 &7 &5 &6 &4 &8 &9 &10 \end{pmatrix}$$ resolver la ecuación de $$\gamma^{23} = \sigma ,$$ donde $\sigma,\gamma \in S_{10}$

Lo que yo hice: $\sigma $ en el ciclo de la notación es $(47)$ i.e una transposición.El orden de $\sigma$ es de 2 debido a que la duración del ciclo es de 2, lo que significa que $\sigma$ su propio inverso (creo) yo.e $\sigma \circ\sigma = e$.

Tomando la ecuación de $\gamma^{23} = \sigma$ y multiplicando a la derecha, por $\sigma$ I get $\gamma^{23} \circ \sigma = e$ , lo que significa que $\gamma^{23}$ $\sigma$ son inversos , lo que implica que $\gamma$ debe ser igual a $\sigma$ desde el fin de la $\sigma$ 2 $\gamma^{22} = \gamma^{24} = e$ desde el 22 y el 24 se dividen por el orden de $\sigma$ , así que la única opción es $\gamma = \sigma$.

Es eso correcto?Hay otra manera de resolver este tipo de ecuaciones? Creo que no es correcto.

Answer 1

$\sigma$ Es una transposición, satisface a cualquier solución $\gamma$ $e = \sigma^2 = (\gamma^{23})^2 = \gamma^{46} .$ la facturización primera de $46$ es $2 \cdot 23$, por lo que tiene de $\gamma$ $1$ (no es posible, desde $e^{23} = e \neq \sigma$), de la orden $2$, $23$ o $46$.

Cada elemento de $S_{10}$ tiene orden dividiendo $|S_{10}| = 10!$. Ahora, $23$, siendo un primo mayor que $10$, no divide $10!$, así que...

... $\gamma$ no puede haber orden $23$ o $46 = 2 \cdot 23$. Así, tiene orden $2$ y así $$\sigma = \gamma^{23} = (\gamma^2)^{11} \gamma = e^{11} \gamma = \gamma .$ $