Como ya se señaló en el OP, cada una de las secuencias de $(u_n=x_n+y_n+z_n),(v_n=x_ny_n+x_nz_n+y_nz_n)$ $(w_n=x_ny_nz_n)$ es decreciente y positiva, y de manera convergente ; indicar los límites de la $u,v$ $w$ respectivamente.
Deje $a_n$ ser el mayor valor en $\lbrace x_n,y_n,z_n \rbrace$, $b_n$ el segundo más grande y el $c_n$ el más bajo. Entonces
$$
\begin{array}{l}
u_n=a_n+b_n+c_n=x_n+y_n+z_n, \\
v_n=a_nb_n+a_nc_n+b_nc_n=x_ny_n+x_nz_n+y_nz_n, \\
w_n=a_nb_nc_n=x_ny_nz_n \\
\end{array}\etiqueta{1}
$$
y tenemos para $n\geq 2$,
$$
\begin{array}{l}
x_{n} \leq \frac{u_{n-1}}{3}=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}}{3} \leq a_{n-1} \\
y_{n} \leq \frac{v_{n-1}}{u_{n-1}}=\frac{a_{n-1}b_{n-1}+a_{n-1}c_{n-1}+b_{n-1}c_{n-1}}{a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}} \leq a_{n-1} \\
z_{n} \leq \frac{3w_{n-1}}{v_{n-1}}=\frac{3a_{n-1}b_{n-1}c_{n-1}}{a_{n-1}b_{n-1}+a_{n-1}c_{n-1}+b_{n-1}c_{n-1}} \leq a_{n-1} \\
\end{array}\etiqueta{2}
$$
De ello se desprende que $a_n \leq a_{n-1}$, lo $(a_n)$ es nonincreasing y no negativo, por lo que converge. Si denotamos por a $a\geq b \geq c$ las raíces de $P=T^3-uT^2+vT-w$, en orden decreciente, el límite de $a_n$ sólo puede ser $a$. Siguiente, observe que $b_n+c_n=u_n-a_n$ y
$b_nc_n=\frac{w_n}{a_n}$, por lo que el $b_n=\frac{u_n-a_n+\sqrt{(u_n-a_n)^2-4\frac{w_n}{a_n}}}{2}$ converge a
$\frac{u-a+\sqrt{(u-a)^2-4\frac{w}{a}}}{2}=b$, y de manera similar a $(c_n)$ converge a $c$.
A partir de (2) se deduce que $x_n$, $y_n$, y $z_n$ todos los $\leq \frac{a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}}{3}$, lo $a_n \leq \frac{a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}}{3} \leq a_{n-1}$. Pasando al límite, podemos ver que $a\leq \frac{a+b+c}{3} \leq a$, de donde $a=b=c$.
Por último, desde el $c_n \leq x_n \leq a_n$, $(x_n)$ converge al mismo límite. Lo mismo para $y_n,z_n$.
