Contexto para "Coronidis Loco" de Weil Básicos de la Teoría de números

Question

En Samuel James Patterson el artículo titulado Sumas de Gauss en La Conformación de la Aritmética después de C. F. Gauss "disquisitiones Arithmeticae", dice Patterson

"Hecke [probado] un hermoso teorema sobre las diferentes de k, es decir, que la clase de la absoluta diferentes en el ideal de la clase de grupo es un cuadrado. Este teorema - un análogo del hecho de que la característica de Euler de una superficie de Riemann es aún - es el momento de coronación (coronidis loco) en ambos Hecke del libro y André Weil Básicos de la Teoría de los números."

Sobre el mismo asunto, J. V. Armitage dice (en su revisión de 1981 traducción de Hecke del libro):

"Que hermoso teorema de merecidamente ocupa el 'coronidis loco' en Weil Básicos de la teoría de números y fue el punto de partida para el trabajo sobre problemas de la paridad en la teoría algebraica de números y la geometría algebraica, la cual ha dado tal fruta rica en los últimos quince años."

¿Qué es una referencia para el aprendizaje de la paridad los problemas que Armitage alude a?

Puede ser imposible de verbalizar las razones de preferencias estéticas, pero

¿Por qué puede Weil, Patterson y Armitage han sido tan favorablemente impresionado por el teorema de que el ideal de la clase de la diferencia de un número de campo es un plaza en el ideal del grupo de clase?

Weil hace ningún comentario sobre por qué eligió a fin Básico de la Teoría de los números con el teorema anterior. Debe tenerse en cuenta que Weil las cubiertas de los libros el número de clase de la fórmula y todos los de la clase de teoría de campo, por lo que el estándar contra el cual el teorema anterior se mide en las citas anteriores es alta!

Answer 1

No es difícil ver que si $L/K$ es una extensión de los campos de número, entonces el discriminante de $L/K$, que es un ideal de a $K$, es un cuadrado en el ideal del grupo de clase de $K$. Hecke del teorema de los ascensores de este hecho a los diferentes. (Recordemos que el discriminante es la norma de la diferente).

Si usted recuerda que el inverso diferentes $\mathcal D_{L/K}^{-1}$ es igual a $Hom\_{\mathcal O_K}(\mathcal O_L,\mathcal O_K),$ puede ver que el inverso diferente es la relativa dualizing gavilla de $\mathcal O_L$$\mathcal O_K$; es análoga a la canónica paquete de una curva (que es el dualizing gavilla de la curva sobre el campo de tierra). Diciendo que $\mathcal D\_{L/K}$, o, equivalentemente,$\mathcal D\_{L/K}^{-1}$, es un cuadrado es lo mismo que decir que hay un rango de 1 proyectiva $\mathcal O_L$-módulo de $\mathcal E$ tal que $\mathcal E^{\otimes 2} \cong \mathcal D_{L/K}^{-1}$, es decir, se dice que uno puede tomar un cuadrado la raíz de la dualizing gavilla. En el caso de las curvas, esto es la existencia de theta características.

Por lo tanto, aparte de cualquier otra cosa (y como se indica en la cita dada en la pregunta), Hecke del teorema fortalece significativamente la analogía entre los anillos de enteros en un número de campos y de las curvas algebraicas.

Si quieres pensar más aritméticamente, es una especie de ley de la reciprocidad. Se expresa en cierto modo una condición en la ramificación de un arbitrario de la extensión de los campos de número: sin embargo, la ramificación se produce, en general debe ser tal que las diferentes ramificada de los números primos equilibrar de alguna manera con el fin de tener $\prod_{\wp} \wp^{e\_{\wp}}$ ser trivial en el grupo de clase mod $2$ (donde $\wp^{e\_{\wp}}$ es el local diferente en un primer $\wp$). (Y para volver a la analogía: se supone que es esto en analogía con el hecho de que si $\omega$ es cualquier meromorphic diferencial en una curva, entonces la suma de los pedidos de todos los divisores y los polos de $\omega$ es aún). Tenga en cuenta que Hecke demostró su teorema de la aplicación de la reciprocidad cuadrática en un número arbitrario de campo.

Answer 2

Los problemas de la paridad Armitage alude incluye Hecke del teorema, así como a otros (y relacionados) problemas de la paridad trajo cuarto por Froehlich, en su teoría de Galois módulos. Para un par de referencias, véase el Capítulo 11 de "Reciprocidad de las Leyes", por ejemplo, en enlace de texto

franz lemmermeyer