Existencia de $V \subset \mathbb{R}^n : V, V^\perp \cap \mathbb{R}_{\geq0}^n = 0$

Question

¿Existe un subespacio $V \subset \mathbb{R}^n$ con $V \cap \mathbb{R}_{\geq0}^n = V^\perp \cap \mathbb{R}_{\geq0}^n = 0$ ? Mi intuición geométrica me dice que no existe tal $V$ pero estoy completamente atascado en la prueba.

Answer 1

Supongamos que $V\cap \mathbb{R}^n_{\geq 0} = \{0\}$ y que $P$ denotan la proyección ortogonal sobre $V$ . Un vector $w$ está en $V^\perp$ si $P(w)=0$ .

Dejemos que $H$ sea el casco convexo de $\{e_1,e_2,\dots,e_n\}$ , donde $e_i$ es un vector base estándar. Nótese que $H\subset \mathbb{R}^n_{\geq 0}$ . La proyección $P(H)$ es un subconjunto convexo de $V$ . Para que no contenga $0$ debe existir un hiperplano que separe $0$ y $P(H)$ , lo que significa que existe algún tipo de $v\in V$ tal que $\forall(w\in P(H))\: w\cdot v > 0$ .

Pero la condición que $V\cap \mathbb{R}^n_{\geq 0} = 0 $ significa que para cualquier $v\in V$ los componentes de $v$ no pueden ser todas no negativas (ni todas no positivas, si no $-v\in\mathbb{R}^n_{\geq 0}$ ). Por lo tanto, para cualquier $v\in V$ hay algo de $e_i$ tal que $v\cdot e_i < 0$ . Así, $v\cdot P(e_i) = v\cdot e_i < 0$ y como $P(e_i)\in P(H)$ por lo que no puede haber un hiperplano que separe $0$ y $P(H)$ .

Por lo tanto, $0\in P(H)$ y por lo tanto $H\subset \mathbb{R}^n_{\geq}$ se cruza con $V^\perp$ .

Answer 2

$\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}$ Tenga en cuenta que $C:=\IR_{\geq 0}^n$ es un cono, es decir, un subconjunto cerrado por adición y multiplicación con $\IR_{\geq 0}$ . Siguiendo el consejo de Paul Garrett, miramos el doble cono, es decir $C^\vee := \{v \mid \forall x\in C: \langle v,x\rangle \geq 0\}$ . Se puede comprobar fácilmente que $V^\vee = V^\perp$ para los subespacios $V\leq\IR^n$ y $(\IR_{\geq 0}^n)^\vee = \IR_{\geq 0}^n$ .

Ahora mira cualquier base $w_1,\ldots,w_k$ de $V^\perp$ y mira el mapa lineal $\omega: \IR^n\to\IR^k, x\mapsto (\langle w_1,x\rangle, ..., \langle w_k,x\rangle)$ . Por supuesto $\ker(\omega)=V$ para que $\omega(\IR_{\geq0}^n\setminus\{0\}) \subseteq \IR^k\setminus\{0\}$ . Esto es ahora un cono en $\IR^k$ y eligiendo una base diferente de $\IR^k$ (o, lo que es lo mismo, elegir una base diferente de $V^\perp$ ), podemos suponer que $\omega(\IR_{\geq0}^n) \subseteq \IR_{\geq0}^k$ . Pero eso significa que $\langle w_i,x\rangle \geq 0$ para todos $x\in C$ es decir $w_i\in (\IR_{\geq 0}^n)^\vee = \IR_{\geq 0}^n$ .

Lo hemos demostrado: Si $V\cap\IR_{\geq 0}^n=0$ entonces $V^\perp\cap\IR_{\geq 0}^n$ contiene toda una base de $V^\perp$ .

Answer 3

Si $V$ tiene una dimensión estrictamente inferior a $n-1$ y se cruza trivialmente $\mathbb{R}^n_{n\ge0}$ es fácil ver que podemos ampliarlo manteniendo trivial la intersección con $\mathbb{R}^n_{n\ge0}$ por lo que basta con hacer el caso en el que $V$ tiene dimensión $n-1$ y su ortogonal es una línea $L$ .

Ahora bien, si $L$ no está contenida en $\mathbb{R}^n_{n\ge0}\cup\mathbb{R}^n_{n\le0}$ sus puntos tienen dos coordenadas de signo contrario. Pero entonces es fácil encontrar un vector $v\in\mathbb{R}^n_{n\ge 0}$ ortogonal a $L$ .