¿SKEWES ' número y el más pequeño $x$ tal que $\pi(x) > \operatorname{li}(x) - \tfrac1n \operatorname{li}(x^{1/2})$?

Question

Sabemos que Skewes' es un número aún desconocido enorme entero $x$ de manera tal que,

$$\pi(x) > \operatorname{li}(x)\tag1$$

donde $\pi(x)$ es la primer función de conteo y $\operatorname{li}(x)$ es la logarítmica de la función integral. También sabemos que el $\text{RHS}$ es sólo el primer término de una serie infinita como se indica por Ramanujan y Riemann,

$$\pi(x) = \operatorname{li}(x) -\tfrac12\operatorname{li}(x^{1/2})-\tfrac13\operatorname{li}(x^{1/3})-\tfrac15\operatorname{li}(x^{1/5}) +\dots$$

Q: ¿Qué si nosotros también, usar y modificar el segundotérmino, $$\pi(x_n) > \operatorname{li}(x_n) - \tfrac1{\color{blue}n} \operatorname{li}(x_n^{1/2})\tag2$$ y para un determinado $n$, hallar el menor entero $x>8$ que satisface la desigualdad?

Para$n=2,3,4,5$,,

$$x_2 = 19$$ $$x_3 = 59753$$ $$x_4 = 30902129$$ $$x_5 = 110087953$$

con $2,5,8,9$ dígitos y $x_5$ encontrado por DanaJ. Por supuesto, como $n$ sube cada vez más alto y $x_n$ alcance $317$ dígitos, luego de llegar a Skewes' el número que es verdadera para todos los $n$.

Entonces, ¿qué es $x_6$ y superior?

Answer 1

He utilizado el siguiente:

perl -Mntheory=:all -E 'my($b,$e)=(9,1e13); my $pc=prime_count(next_prime($b-1)); forprimes { die $_ if $pc++ > LogarithmicIntegral($_) - LogarithmicIntegral(sqrt($_))/5; } $b,$e;'

donde se puede cambiar el '5' por lo que es deseado. Devuelve el OP valores para 2-5. Alrededor de 11 segundos de inactividad Macbook, solo hilo para n=5, muy cerca de 12 horas para n=6. Omitiendo Perl podemos hacer esto 2-4x más rápido.

Estamos caminando a los números primos y la comprobación li cada momento. primesieve es un poco más rápido en el cribado, pero es una porción muy pequeña de la época. También escribí un ~ 15 de la línea C de la versión que se ejecuta 2-4x más rápido ya que evita la sobrecarga de ida y vuelta entre Perl y C. Una versión más rápida de li() sería la mejora más evidente. Como es, la búsqueda de $x_5$ toma alrededor de 3.3 segundos, y $x_6$ es de 2.5 horas. Estos podrían ser paralelizado.

Podemos acelerar mucho el uso de algunos límites en li crecimiento para evitar llamar la li() función la mayor parte del tiempo. Este rendimientos de 4.5 minutos para $x_6$. Llamar a li() es la mayor parte del tiempo vs tamizado pero estamos cada vez más cerca. El tamizado es todo muy bien para pequeñas entradas, pero en algún momento se va a tomar un tiempo considerable (1-2 horas a 10^13, acerca de 12x más por 10x más tamizado).

Hay una cuestión muy importante a medida que x se hace grande: la exactitud de li(). Mientras que el error para el código que estoy usando es bajo 5e-17 de error relativo, con lo suficientemente grande x esto es significativo. Suficiente para hacer que la $x_7$ unido más difícil de determinar. Podemos utilizar el alimentador multiuso o quad flota, pero este tiene un serio complejidad y el tiempo de golpe. He quadmath (GNU verdadero de 128 bits flotantes) y mpf/mpfr código para li() -- el ex tiene error absoluto ~ 0.001 en 1e19, mucho mejor para $x_7$ de doble procesador Intel o long double.

En la mesa, dejar, $$K_n=\text{Kulsha's maxima}$$ $$\text{dif}_n=-\pi(x_n) + \operatorname{li}(x_n) - \tfrac1{n} \operatorname{li}(x_n^{1/2})$$

Skewes' number will yield negative $\texto{dif}_n$ for all $n$.

$$\begin{array}{|c|l|l|c|c|c|} \hline n&x_n& K_n& \approx (x_n)&\approx (K_n-x_n) &\text{dif}_n\\ \hline 2&19& 19&1.9\times10 &0&-0.041\\ 3&59753&-&5.9\times10^4&-&-0.081\\ 4&30902129& 30909673&3.09\times10^7&7\times10^3&-0.072\\ 5&110087953& 110102617&1.10\times10^8&1\times10^4&-0.192\\ 6&330946474073& 330957852107&3.309\times10^{11}&1\times10^7&-0.235\\ 7&1324783721133846733\,\color{red}?& 1325005986250807813&1.32\times10^{18}&2\times10^{14}&-0.379\\ \hline \end{array}$$

I also note that the values for 2, 4, 5, and 6 are quite close to the local maximas shown on Kulsha's page. For $x_7$, I didn't find anything around the 10^16 to 10^17 maxima (m-1e11,m+2e9), but an upper bound is found near the 10^18 maxima. There is no smaller $x_7$ within $10^{13}$ de los resultados obtenidos.

Más detalles en la de Tito comentarios.