¿Es la noción de medida de Lebesgue una construcción necesaria para la física estadística?

Question

Anoche, en el chat, un usuario y yo discutíamos sobre el significado "físico" de la noción de medida de Lebesgue. En concreto, teníamos curiosidad por saber si los físicos pueden "arreglárselas" sin ella. Mencioné que el teorema de convergencia dominada es necesario para demostrar ciertos teoremas en estadística que serían necesarios en áreas como la termodinámica estadística, donde se quiere saber que al tratar con una enorme cantidad de partículas cosas como la velocidad/energía están aproximadamente distribuidas normalmente (Teorema del Límite Central). Nos sorprendió encontrar una demostración del CLT que no sólo no requería la SES, sino que estaba formulada íntegramente en términos de la integral de Riemann.

Mi pregunta es: ¿Existen áreas específicas de la física que se basen en la noción de medida de Lebesgue? (ya sea directa o indirectamente a través de teoremas para cuya demostración se necesita esta noción). ¿Hasta el punto de ser necesaria y no meramente útil?

Answer 1

Opinión poco popular: no, no "necesitas" la medida de Lebesgue para hacer física. No necesitas ningún tipo de análisis funcional, ni teoría de la distribución, ni matemáticas más allá de lo que sabe un estudiante de secundaria.

Ninguna de estas cosas es esencial para describir lo que hace la Naturaleza; el contenido de los postulados de la mecánica cuántica, o de la relatividad especial, o de la mecánica estadística son físico no matemática. Es cierto que se pueden añadir objetos matemáticos extravagantes para que los postulados parezcan más bonitos, como se hizo a menudo décadas o siglos después. Pero eso es algo totalmente distinto de la tarea fundamental de averiguar cómo se comporta la Naturaleza.

Consideremos una sola partícula con el espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R}^3)$ . No cambia absolutamente nada experimentalmente visible si pongo un corte de momento-espacio, por ejemplo, una red discreta sobre la que la partícula salta, digamos a escala de Planck. Tampoco cambia nada si pongo la partícula en una caja grande pero finita, digamos, del tamaño del universo observable. Pero ahora estamos en un espacio vectorial finito y no hay necesidad de matemáticas complicadas.

Seguimos necesitando cálculo, pero incluso esto puede eliminarse; basta con discretizar el tiempo, realizando pasos temporales como cualquier simulación numérica jamás escrita. Entonces sólo nos queda la aritmética elemental. Hemos perdido todas las matemáticas, pero todavía tenemos la mecánica cuántica porque los postulados físicos de superposición, evolución unitaria, regla de Born, etc. siguen intactos. Del mismo modo, en mecánica estadística, el límite termodinámico $N \to \infty$ no existe; siempre se trata de un número perfectamente finito de partículas, lo que reduce la situación a la mecánica clásica. Esta configuración funciona incluso en la teoría cuántica de campos relativista; se utiliza regularmente en la QCD de celosía, donde produce resultados que no se pueden encontrar de ninguna otra manera.

No estoy en desacuerdo con que las herramientas matemáticas puedan ser elegantes y útiles, pero me opongo rotundamente a confundirlas con la propia física. Sabemos cómo funciona la Naturaleza cuando encontramos el conjunto adecuado de leyes y demostramos que concuerdan con los experimentos, no cuando las escribimos con todo rigor matemático.

Answer 2

editar He editado la respuesta para responder a algunas de las críticas de los comentarios.

En la medida en que la medida de Lebesgue es necesaria para definir la integración de Lebesgue, es fundamental para la Mecánica Cuántica: en general exigimos que las funciones de onda, en función de la posición, sean integrables al cuadrado de Lebesgue.

Más concretamente, en QM los estados responden a rayos en un espacio de Hilbert. Los espacios de Hilbert son completa espacios de producto interno, y la integral de Lebesgue es necesaria para completar el espacio de Hilbert correspondiente, véase ¿Cuándo es más útil la integración de Lebesgue que la de Riemann en física?

Es cierto que la base de posición no tiene nada de especial, pero este requisito no se puede eludir: la medida de Lebesgue es necesaria para definir una función de onda adecuadamente cuadrada normalizable en la base de posición.

Answer 3

La integral fue definida por primera vez por Newton como parte de su método de Fluxiones, es decir, el cálculo.

Riemann fundamentó la integral de forma rigurosa utilizando los métodos del análisis real. Rápidamente se comprendió que no tenía muchas propiedades buenas bajo la toma de límites.

(Para darse cuenta de lo útil que es esta propiedad se puede recordar una de las historias que Feynman relataba en sus libros en la que intercambiaba el operador de la derivada por el signo de la integral).

La definición que finalmente se adoptó fue la integral de Lesbegue, que sí lo hacía: por ejemplo, tenía los teoremas de convergencia monótona y dominada y el teorema de Fubini sobre el intercambio de límites en una integral doble. También era capaz de definirse en espacios abstractos, por ejemplo grupos, y de hecho, los grupos localmente compactos tienen un avatar de la medida de Lesbegue, llamada medida de Haar, que es la única medida invariante de traslación. Por último, las funciones cuadradas integrables formaban un espacio de producto interno completo, también conocido como espacio de Hilbert.

En la medida en que la física está o se preocupa de estar formalizada (lo que no siempre es el caso, por ejemplo basta con fijarse en la función delta de Dirac o en la integral de trayectoria) ha resultado útil definir espacios de funciones apropiados, etcétera.