¿Cuál de los siguientes conjuntos de matrices es denso en el conjunto de cuadrados $n \times n$ matrices cuadradas sobre $\mathbb{C}$ ?

Question

Practicando para el GRE encontré esta pregunta y me preguntaba si alguien tiene algún consejo general para enfocar este tipo de preguntas o alguna bibliografía que pueda revisar para enfocarlas.

¿Cuál de los siguientes conjuntos es denso en el conjunto de cuadrados $n \times n$ matrices cuadradas sobre $\mathbb{C}$ ?

I) Matrices invertibles

II) Matrices unitarias

III) Matrices simétricas

IV) Matrices diagonalizables.

Answer 1

Caso 1: Matrices invertibles

Para cada $A \in M_{n\times n}(\mathbb{C})$ consideremos el polinomio característico $$\begin{align} p_A(z) = \det(zI-A). \end{align}$$ Entonces está claro que $A$ no es invertible si y sólo si cero es una raíz de de $p_A(z)$ . Sin embargo, si perturbamos $A$ por una matriz diagonal, es decir $$\begin{align} B= A+\epsilon I \end{align}$$ entonces vemos que $B$ es invertible ya que el polinomio característico de $B$ es $p_B(z) = p_A(z-\epsilon)$ ya no tiene cero como raíz para ningún $\epsilon \neq 0$ . Por lo tanto, la clase de matrices invertibles es densa en $M_n(\mathbb{C})$ . (De hecho, el conjunto de matrices invertibles es abierto en $M_n(\mathbb{C})$ . )

Caso 2: Matrices unitarias

Una forma rápida de ver que esta clase no es densa es considerar la siguiente matriz $$\begin{align} A = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{align}$$ que no es unitario. En particular, para toda matriz unitaria $U$ tenemos $$\begin{align} \operatorname{Tr}|A-U|\geq \big|\operatorname{Tr}|A|-\operatorname{Tr}|U| \big|= 1. \end{align}$$ Como todas las normas son equivalentes en espacios vectoriales de dimensión finita, tenemos que la clase de matrices unitarias no puede ser densa en $M_n(\mathbb{C})$ .

Caso 3: Matrices simétricas

Una forma rápida de ver que esta clase no es densa es considerar la matriz $$\begin{align} C = \begin{pmatrix} 1 & 100\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ que claramente no es simétrica. Ahora, para cualquier matriz simétrica $S$ tenemos $$\begin{align} C-S = \begin{pmatrix} 1-a & 100-b\\ -b & 1-c \end{pmatrix} . \end{align}$$ Si tomamos la norma de Frobenius de $C-S$ obtenemos $$\begin{align} \|C-S\|_F = \sqrt{|1-a|^2+|1-c|^2+b^2+|100-b|^2}\geq \sqrt{b^2+|100-b|^2} \geq \frac{100}{\sqrt{2}}. \end{align}$$ Por lo tanto, la clase de matrices simétricas no es densa en $M_n(\mathbb{C})$ .

Caso 4: Matrices diagonalizables Sea $A$ sea una matriz arbitraria en $M_n(\mathbb{C})$ . Demostremos que $A$ puede aproximarse mediante una matriz diagonal.

Utilizando el hecho de que una matriz es diagonalizable si tiene $n$ valores propios distintos, construiremos un $B$ matriz arbitrariamente cercana a $A$ en norma y $B$ tiene distintos $n$ -valores propios.

Supongamos que $p_A(z) =\det(zI-A) =(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)\cdots (z-\lambda_n)$ es el polinomio característico de $A$ donde $|\lambda_1\leq |\lambda_2|\leq \ldots \leq |\lambda_n|$ consideremos una matriz diagonal $$\begin{align} D= \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & d_2 & \ldots & \vdots\\ \vdots & \ldots &\ddots & 0\\ 0 & \ldots & 0 & d_n \end{pmatrix} \end{align}$$ donde el $|d_1|<|d_2|<\ldots <|d_n|$ . Entonces considerando la forma canocial de Jordan de $A$ tenemos que $$\begin{align} A+\epsilon D \end{align}$$ tiene valores propios distintos, es decir, diagonalizable para cualquier $\epsilon\neq 0$ . Por lo tanto, el conjunto de matrices diagonalizables es denso en $M_n(\mathbb{C})$ . (Mi explicación de esta parte es endeble. Esencialmente, estoy eligiendo $d_1, \ldots, d_n$ para que $|\lambda_1+d_1|<|\lambda_2+d_2|<\ldots<|\lambda_n+d_n|$ .)

Answer 2

Las matrices simétricas no son densas en $\mathbb{C}^{n^2}$ ya que forman un subespacio no trivial (a menos que $n = 1$ ). Las matrices unitarias no son densas en $\mathbb{C}^{n^2}$ ya que forman un conjunto acotado.

Las matrices diagonalizables son efectivamente densas. Para ver esto, observe que cualquier matriz compleja es similar a una matriz triangular superior. Dada $A \in \mathbb{C}^{n^2}$ podemos encontrar un $P$ y un triángulo superior $B$ tal que $A = P^{-1} B P$ y los elementos diagonales de $B$ son precisamente los valores propios de $A$ (contando la multiplicidad algebraica). Perturbando los elementos diagonales de $B$ ligeramente (llamar al resultado $B'$ ), podemos hacer que todos los valores propios de $B'$ distintos y tan $B'$ será diagonalizable y, por tanto, también $P^{-1} B' P$ que puede hacerse arbitraria cerca de $A$ .

Las matrices invertibles son densas ya que si $A$ es una matriz, $A + \lambda I$ será invertible para todos menos para un número finito de $\lambda \in \mathbb{C}$ y así podemos encontrar una matriz invertible arbitraria cercana a $A$ .