Cómo demostrar a $\oint_\Gamma \nabla\theta\cdot\vec{dr}=\pm2\pi$ alrededor de una singularidad de fase/a través de un corte

Question

¿Cómo podría usted demostrar que $$\oint_\Gamma \nabla\theta\cdot\vec{dr}=\pm2\pi$$

Sabemos que $\theta\in(-\pi,\pi)$, supongamos que $\theta$ es continua en la región limitada por y a lo largo de $\Gamma$ además de un corte. En uno de los laterales de la corte de $\theta=-\pi$ y el otro $\theta=\pi$, lo $\theta$ hace un salto de magnitud $2\pi$ más de este corte. Efectivamente estoy describiendo a la atan2 función, sin embargo no estoy suponiendo uniforme de variación en $\theta$.

Es esto tan sencillo como decir, vamos a tratar este contorno como una línea desconectada integral de la $\Gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $\theta(\Gamma(0))=\mp \pi$$\theta(\Gamma(1))=\pm \pi$, por lo tanto, $$\int_\Gamma \nabla\theta\cdot\vec{dr}=\theta(\Gamma(1))-\theta(\Gamma(0))=\pm2\pi$$

Me estoy preguntando como ha sido un tiempo desde que he estudiado formales de análisis complejo y tengo la esperanza de que hay una manera más formal a pensar acerca de esto.

Answer 1

Todo lo que usted necesita es el Gradiente teorema de aquí. Desde su $\Gamma$ es una línea, con los extremos casi reunión, es como el pensamiento de $(0,1)$ envuelto alrededor en un círculo falta la pieza de conexión. Una vez que vea que tenemos $$\int_ \Gamma \nabla f \cdot dr = f(b) -f(a)$$ donde $a$ $b$ son los puntos finales de $\Gamma$. La única cosa que no ha especificado es la orientación, esto es, donde el$\pm 2 \pi$. Ya es cualquiera $$f(b)-f(a) \quad \text{or} \quad f(a) -f(b)$$ dependiendo de si se inicia desde la $a$ e ir a $b$ o viceversa.

Ref: http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_theorem