encontrar todas las funciones $g(x)$ que satisface la ecuación de $g'(x) = g(x) + \int_0^1 g(x) dx$

Question

Estoy tratando de probar o encontrar todas las funciones de $g(x)$ que satisface la ecuación

$$g'(x)=g(x)+\int_0^1g(x)dx$$

El único progreso que he hecho hacia una respuesta es que reescribí $g'(x)=g(x)+G(1)-G(0)$. He estado mirando esto por algún tiempo ahora, pero no puede venir con cualquier cosa.

Answer 1

Diferenciar. Nos da que

$$g'(x)=g(x)+\int_{0}^{1}{g(x)}\,dx\implies g''(x)=g'(x)$$

Por lo tanto,

$$g'(x)=c_1e^x\implies g(x)=c_2+c_1e^x$$

$$\therefore c_1e^x=\left(c_2+c_1e^x\right)+\int_{0}^{1}{\left(c_2+c_1e^x\right)}\,dx=c_2+c_1e^x+c_2+c_1e-c_1$$

$$\therefore c_2=\frac{c_1(1-e)}{2}$$

Por lo tanto, $$g(x)=\frac{c_1(1-e)}{2}+c_1e^x$$

Answer 2

Observe que si usted diferenciar la ecuación*$g''(t) = g'(t)$, que tiene la solución general $g'(t) = ce^t$. Integrando de nuevo, consigue $g(t) = ce^t + d$; usted puede ahora utilizar la ecuación original para encontrar una adecuada elección de las constantes.

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*Cualquier solución de $g$ es lo suficientemente suave como para diferenciar tantas veces como sea necesario, por lo que este es válida.