Aproximación clásica del acoplamiento a un baño cuántico

Question

Esta pregunta es una variante de seguimiento / más centrada en la pregunta planteada ici . Con algunos comentarios de otros usuarios me di cuenta de que la pregunta planteada era demasiado amplia para responderla con rigor, por lo que he decidido escribir una pregunta autocontenida en la que se plantea exactamente lo que me interesa.

Tomemos un sistema de dos niveles de frecuencia de transición $\omega_{0}$ . Este sistema está acoplado linealmente a una gran colección de $l$ osciladores armónicos, actuando como un baño ambiental. El hamiltoniano del sistema viene dado por \begin{equation} H = -\frac{\omega_0}{2}\sigma_z + \sum_l(a^\dagger_l a_l + 1/2) + \sum_l \chi_l \sigma_z (a^\dagger_l + a_l) \end{equation}

Dicho baño puede describirse en términos de su densidad espectral $J(\omega) = \sum_l \vert\chi_l\vert^2 \delta(\omega-\omega_l)$ donde podemos suponer que la densidad espectral es una función continua debido al elevado número de modos.

Ahora bien, tal y como se plantea en "Simulador cuántico de un sistema cuántico abierto mediante qubits superconductores: transporte de excitones en complejos fotosintéticos" de Mostame et al. se puede abordar dicho sistema en su límite clásico como \begin{equation} H = -\frac{(\omega_0 + \delta\omega(t))}{2}\sigma_z \end{equation} donde el baño ambiental está ahora totalmente contenido en las fluctuaciones de frecuencia dependientes del tiempo $\delta\omega(t)$ que se comporta según ciertas estadísticas y tiene una densidad espectral de potencia $S_X(f)$ , ambos deberían poder adoptar formas bastante arbitrarias como cualquier señal de ruido clásica.

Lo que me interesa es cómo se deriva \begin{equation} \sum_l(a^\dagger_l a_l + 1/2) + \sum_l \chi_l \sigma_z (a^\dagger_l + a_l) \rightarrow -\frac{\delta\omega(t)}{2}\sigma_z \end{equation}

Se han dado algunos pasos en la elaboración de esta derivación. Como se detalla en el respuesta a mi pregunta anterior, el usuario DanielSank plantea que este tipo de acoplamiento puede verse esencialmente como $$\sum_{l} \chi_l \sigma_z x_l $$ donde $x_l$ es la posición del modo fonónico $l$ . Uno puede imaginar que para un baño caliente, esta posición es esencialmente sacudir alrededor, lo que resulta en algún término dependiente del tiempo acoplado a $\sigma_z$ . Estoy de acuerdo con esta explicación, y creo que es un paso en la dirección correcta. Quizás entre en juego algún límite de alta temperatura.

Como Daniel señala a continuación, podría estar implícito en las ecuaciones es que los modos fonónicos son de frecuencia mucho más baja que el propio sistema de dos niveles, $\omega_l \ll \omega_0$ porque si no, probablemente no tendríamos simples $\sigma_z$ acoplamiento. Además, señaló que lo más probable es que el hamiltoniano del propio baño sea absorbido por la parte dependiente del tiempo al entrar en la imagen de la interacción. Su último punto es que uno podría tener que hacer algunas suposiciones sobre la memoria del baño.

Mi pregunta es cómo podemos cuantificar más esto, idealmente con una derivación desde el hamiltoniano inicial hasta el final con los supuestos necesarios explicitados.

Answer 1

$\def\ii{{\rm i}} \def\dd{{\rm d}} \def\ee{{\rm e}} \def\Tr{{\rm Tr}} $ Por lo que yo sé y esperaría, la sustitución de un depósito de calor cuántico por un campo clásico ruidoso no puede justificarse rigurosamente en general. Sin embargo, para el sencillo problema de desfase puro que se plantea aquí, sí que existe una correspondencia entre los modelos de ruido cuántico y clásico. El modelo cuántico tiene el Hamiltoniano $H = H_S + H_B + H_{SB}$ donde el Hamiltoniano del sistema es $H_S = (\omega_0/2) \sigma^z$ el hamiltoniano del baño es $$H_B = \sum_k \omega_k a_k^\dagger a_k,$$ y la interacción es $H_{SB} = \sigma^z X$ , donde $X$ es la coordenada colectiva del baño $$ X = \sum_k \chi_k(a_k+a_k^\dagger).$$ Esto se conoce como modelo de bosón independiente y es exactamente solucionable (véase la elegante solución general de Emilio Pisanty para el problema independiente del tiempo ici ), por estrecha analogía con el modelo de ruido clásico solucionable que se discute ici .

Antes de presentar la solución, motivemos la idea de sustituir el baño cuántico por un campo clásico ruidoso, como sigue. Pasando a una imagen de interacción generada por $H_S + H_B$ el hamiltoniano se transforma en $$ H_{SB}(t) = \sigma^z X(t),$$ donde (con $\hbar = 1$ ) $$X(t) = \sum_k \chi_k ( \ee^{-\ii\omega_k t} a_k + \ee^{\ii\omega_k t} a_k^\dagger ).$$ Ahora, supongamos que el depósito está inicialmente en un estado térmico $\rho_B = \ee^{-\beta H_B}/\mathcal{Z}$ con $\beta = 1/k_B T$ la temperatura inversa y $\mathcal{Z} = \Tr[\ee^{-\beta H_B}]$ la función de partición. Entonces, $X(t)$ tiene media cero, $\langle X(t) \rangle = \Tr[X(t) \rho_B] = 0$ . Sin embargo, sus fluctuaciones no son evanescentes, tal y como cuantifica la función de autocorrelación $$ \langle X(t) X(t') \rangle = \int_{-\infty}^\infty \dd \omega\; \ee^{-\ii\omega (t-t')} S(\omega).$$ Aquí la cantidad $S(\omega)$ se define por $$ S(\omega) = \left \lbrace \begin{array}{ll} J(\omega)[1 + n(\omega)] & (\omega > 0)\\ J(\lvert\omega\rvert) n(\lvert\omega\rvert) & (\omega < 0), \end{array}\right. $$ donde $n(\omega) =(\ee^{\beta\omega} - 1)^{-1}$ es la distribución de Bose-Einstein y la densidad espectral es $$ J(\omega) = \sum_k \lvert\chi_k\rvert^2 \delta(\omega- \omega_k).$$ (Tenga en cuenta que realmente $S(\omega)$ no $J(\omega)$ , desempeña un papel análogo al de la densidad espectral de potencia del ruido, pero desgraciadamente esta terminología se ha cimentado tras varias décadas de repetición y estamos bastante atascados con ella). Además, la estadística de $X(t)$ son gaussianos, en el sentido de que todos los cumulantes de orden superior con respecto al estado inicial $\rho_B$ desaparecer. Así, si imaginamos que se sustituye $X(t)$ en el Hamiltoniano anterior con un campo ruidoso clásico de media cero con estadística gaussiana y densidad espectral de potencia $S(\omega)$ podríamos esperar reproducir la dinámica del modelo cuántico completo. Sin embargo, esta idea no tiene en cuenta el hecho de que el baño cuántico es un sistema dinámico perturbado por su interacción con el qubit, por lo que no podemos esperar que la estadística del ruido sea independiente del estado del qubit, ni siquiera que sea gaussiana, a medida que avanza el tiempo. Curiosamente, para el modelo de bosón independiente la estadística hacer de hecho siguen siendo gaussianos, porque el qubit simplemente actúa para desplazar la posición de equilibrio de cada modo bosónico, lo que a su vez hace que el qubit se descohesione sin afectar a su energía media.

Así pues, pasemos a la solución de la matriz de densidad reducida del qubit $\rho_S(t) = \Tr_B[U(t) \rho(0) U^\dagger(t)]$ , donde $U(t)$ es el operador de evolución temporal (en la imagen de la interacción), suponiendo que el estado inicial es el producto (tensor) $\rho(0) = \rho_S(0)\rho_B$ . Para calcular el operador de evolución temporal, la observación clave es que $[X(t),X(t')]$ es un $c$ -número que conmuta con todo. Por lo tanto, utilizando el Ampliación de Magnus se encuentra que \begin{align} U(t) & = T\exp \left (-\ii \int_0^t\dd s\; H_{SB}(s) \right) \\ &= \exp\left(-\ii \int_0^t\dd s\; H_{SB}(s) -\frac{1}{2}\int_0^t\dd s\int_0^s\dd s'\;[H_{SB}(s),H_{SB}(s')] \right), \end{align} es decir, en la segunda línea hemos reexpresado la exponencial intratable ordenada en el tiempo en términos de una exponencial normal que se puede evaluar fácilmente. El segundo término del exponente, que implica un conmutador, sólo produce una fase global despreciable. Eliminando este factor de fase, obtenemos \begin{align} U(t) &= \exp\left\{\frac{1}{2}\sigma^z \sum_k \left[ \alpha_k(t) a_k^\dagger - \alpha^*_k(t) a_k \right]\right\}, \end{align} donde $$ \alpha_k(t) = \frac{2\chi_k(1 - \ee^{\ii\omega_k t})}{\omega_k}.$$ Así, $U(t)$ describe un desplazamiento dependiente del tiempo de cada modo en una cantidad $\pm\alpha_k(t)/2$ condicionado al estado del qubit. Explícitamente, podemos escribir $$ U(t) = \lvert 1 \rangle \langle 1 \rvert \prod_k D(\alpha_k/2) + \lvert 0 \rangle \langle 0 \rvert \prod_k D(-\alpha_k/2),$$ donde $D(\alpha_k/2)$ denota una norma operador de desplazamiento actuando en el $k^{{\rm th}}$ modo.

Desde $[H,\sigma^z] = 0$ las poblaciones en las bases propias de $\sigma^z$ son constantes, mientras que las coherencias decaen como $\rho_{01}(t) = \langle 0 \rvert \rho_S(t) \rvert 1\rangle = \ee^{-\Gamma(t)}\rho_{01}(0)$ donde definimos la función de decoherencia mediante $$ \ee^{-\Gamma(t)} = \left\langle \prod_k D(\alpha_k)\right\rangle,$$ donde los paréntesis angulares denotan una media con respecto al estado inicial del baño $\rho_B$ . Ahora, se puede reconocer el valor de la expectativa del operador de desplazamiento como el Función característica de Wigner del estado de baño gaussiano $\rho_B$ . Esta función característica puede buscarse simplemente, o bien derivarse observando que $\Gamma(t)$ es esencialmente la función generadora del cumulante de la variable $\sum_k(\alpha_k a_k^\dagger - \alpha_k^* a_k)$ y para un estado gaussiano sólo contribuye su segundo cumulante, por tanto \begin{align} \Gamma(t) &= \sum_k \frac{4 \lvert\chi_k\rvert^2}{\omega_k^2} [1-\cos(\omega_k t)]\coth \left(\beta\omega_k/2\right)\\ & = \int_{-\infty}^\infty \dd\omega\; \frac{4[1-\cos(\omega t)]}{\omega^2} S(\omega). \end{align}

Alternativamente, podemos escribir estos resultados en términos de una ecuación maestra en la imagen de Schroedinger: $$ \dot{\rho} = -\frac{\ii}{2}\omega_0 [\sigma^z,\rho] + \frac{1}{2}\gamma(t)\left( \sigma^z \rho \sigma^z - \rho \right). $$ Aquí, los puntos denotan las derivadas temporales y la tasa de desfase es $\gamma(t) = \dot{\Gamma}(t)$ o explícitamente $$ \gamma(t) = \int\dd\omega\; \frac{\sin(\omega t)}{\omega} S(\omega).$$ Comparación de estos resultados con la respuesta ici muestra que la evolución es equivalente a la producida por un campo ruidoso clásico con estadística gaussiana estacionaria y densidad espectral de potencia $S(\omega)$ . Sin embargo, generar una señal ruidosa clásica de este tipo parece un reto, ya que $S(\omega)$ no es una función uniforme de $\omega$ como lo sería para una señal clásica de valor real. Esto sugiere que esta aproximación clásica del ruido sólo tiene sentido en el límite de alta temperatura, donde $n(\omega) \gg 1$ ya que $S(\omega)$ se vuelve aproximadamente uniforme para las frecuencias $\lvert \beta \omega\rvert \ll 1$ .