El natural de la métrica de un espacio de fase y el exponente de Lyapunov

Question

Para mí, parece que no hay aparente métrica en un espacio de fase de un sistema dinámico. Por supuesto, uno puede ingenuamente definir una métrica Euclidiana, pero parece que esta métrica no tiene mucho que ver con las características propias de un espacio de fase.

Pero en muchos libros de texto en los sistemas dinámicos, es la métrica empleada en la definición del exponente de Lyapunov.

Es esto realmente un buen método?

Answer 1

Se ha demostrado por Eichhorn, Linz y Hänggi en el año 2000 que los valores numéricos de los exponentes de Lyapunov son invariantes bajo cualquier invertible variable de transformación. Esto es sólo una reformulación del hecho de que son de métrica invariante, ya que los autores dan por sentado que la norma $|\cdot|$ es una norma arbitraria en la coordina - sólo es propiedades básicas tales como la linealidad son suficientes.

Para obtener algunos intuición para esto - exponentes de Lyapunov están vinculados con la Haussdorf o dimensión fractal de la trayectoria. Aunque la dimensión de Hausdorff se define en un espacio métrico, tenemos la intuición de que una dimensión fractal es en realidad más de una propiedad de diferencial de la estructura , más que de una noción específica de longitud/superficie/volumen. La métrica es sólo un identificador para llegar a la dimensión fractal, pero la naturaleza es no-métrica. Podemos entender la adquisición de los exponentes de Lyapunov en una manera similar - la métrica es sólo un mango y se elige uno al azar.

Una segunda manera de conseguir una intuición es a través de la definición explícita de los exponentes $\lambda$ a través de la variación lineal $\delta x(t)$ evolucionado en el tiempo: $$\lambda = \lim_{t\to \infty} \frac{\log |\delta x(t)|}{t}$$ Supongamos que $\delta x(t) = e^{\mu t}\delta x(0)$. Luego de la linealidad de la norma tenemos $|\delta x(t)| = e^{\mu t} |\delta x(0)|$ y el límite de los rendimientos $$\lambda = \lim_{t \to \infty} (\frac{\mu t}{t} + \frac{\log |\delta x(0)|}{t})$$ El segundo término muere y tenemos $\lambda=\mu$ para cualquier positiva definida lineal $|\cdot|$. I. e. usted obtiene el mismo número con una diferente de la norma y por lo tanto el exponente de Lyapunov le da algo que está conectado a una "tasa de crecimiento relativo" independiente de la métrica. Hay algunas lagunas a este argumento, y estos están cubiertos por el citado artículo.