Que $m \in \mathbb Z, m>1$, entonces el $\cos(2 \pi/m) \in \mathbb Q$ si y sólo si $m \in \{1,2,3,4,6\}$.

Question

Posible duplicado:
¿Cuándo es racional $\sin(x)$?

Que $m \in \mathbb Z, m\geq1$, entonces el $\cos(2 \pi/m) \in \mathbb Q$ si y sólo si $m \in \{1,2,3,4,6\}$.

¿Por qué es la verdad de esta declaración? ¿Por qué siempre es racional no entero $\cos(2 \pi/m)$ $m >6$?

Muchas gracias.

Answer 1

Un enfoque que puede ser de ayuda:

Lema: $\theta =\frac{2\pi}{m} \text{ then }\cos \theta \in \mathbb Q \iff \cos \theta \in \{ 0, \pm \frac12, \pm1 \}$

Prueba:

Para que no $2\cos \theta = \frac ab$ donde $a$ $b$ co-prime.A continuación,$2\cos 2\theta = {(2\cos \theta)}^2 -2$. $$ 2\cos 2\theta=\frac {a^2-2b^2}{b^2}$$

Ahora $\gcd (a^2-2b^2,b^2)=1$.

Prueba:Supongamos $p$ es un primer dividiendo tanto el Numerador y el Denominador. A continuación, $p|b^2 \text{ hence} p|b$ $p|(a^2-2b^2) \text { hence }p|a$ que nos da la contradicción.

Así que si $b \neq \pm1$, entonces tenemos que en $2\cos \theta, 2\cos 2\theta,2\cos 2^2\theta,\ldots$, los denominadores más y más grande y $\to \infty$.

También tenemos $\cos \theta$ es periódica con período de $2\pi$. Por lo tanto la secuencia se señaló anteriormente puede admitir que en la mayoría de las $m$ diferentes valores de y, a continuación, comenzará la repetición de contradecir que el Denominador tiende a infinito.

Por lo tanto $b=\pm 1$ y de ahí nuestra afirmación está probado.

Supongo que lo puede ayudar, como ahora sabemos todo lo posible (racional) de los valores de $\cos \theta$ podemos comprobar los valores correspondientes a ellos.

Gracias.