La polar de la forma de la elipse es$r(\varphi)$, $\varphi=0$
en radio mayor $r_{\mbox{major}}=a$
y $\varphi=\frac{\pi}{2}$
en la radio menor $r_{\mbox{minor}}=a\left(1-e\right)$
donde $e$
es la excentricidad.
$$r(\varphi) = \frac{a\,(1-e)}{\sqrt{e(e-2)\cos^2\varphi+1}} \approx a\,\left(1-e\,\sin^{2}\varphi\,\right)$$
El ángulo entre el contacto normal y el polar de la ubicación del punto de contacto
$$\tan\alpha = \mbox{-}\frac{\frac{{\rm d}}{{\rm d}\varphi}r(\varphi)}{r(\varphi)}
\alpha = 2e\,\sin\varphi\cos\varphi$$
La posición angular de la elipse como una función del punto de contacto de la ubicación del ángulo de $\varphi$
$$ \theta = \varphi+\alpha(\varphi)
= \varphi+2e\,\sin\varphi\cos\varphi$$
La velocidad angular de la elipse
$$\omega = \dot{\varphi}+\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}\varphi}2e\,\sin\varphi\cos\varphi\right)\dot{\varphi}
= \dot{\varphi}+\left(4e\,\cos^{2}\varphi-2e\right)\dot{\varphi}
= \left(4e\,\cos^{2}\varphi-2e+1\right)\dot{\varphi}$$
La aceleración angular de la elipse
$$\dot{\omega} = \frac{{\rm d}\omega}{{\rm d}t}=\frac{\partial\omega}{\partial\varphi}\dot{\varphi}+\frac{\partial\omega}{\partial\dot{\varphi}}\ddot{\varphi}$$
$$ = \left(\mbox{-}8e\,\sin\varphi\cos\varphi\right)\dot{\varphi}^{2}+\left(4e\,\cos^{2}\varphi-2e+1\right)\ddot{\varphi}$$
Las ecuaciones anteriores se utilizan para resolver por $\dot{\varphi}(\omega)=$
y $\ddot{\varphi}(\dot{\omega})=$
La posición vertical de la elipse como una función del punto de contacto de la ubicación del ángulo de $\varphi$
$ $ $ y = r\,\cos\alpha
= a\,\left(1-e\,\sin^{2}\varphi\,\right)$$
desde $\cos\alpha\sim1$
.
La velocidad vertical de la elipse es
$$\dot{y} = \left(\frac{\partial}{\partial\varphi}\,\left(1-e\,\sin^{2}\varphi\,\right)\right)\dot{\varphi}
= \left(\mbox{-}2a\, e\,\sin\varphi\cos\varphi\right)\dot{\varphi} $$
$$\dot{y} = \frac{\left(\mbox{-}2a\, e\,\sin\varphi\cos\varphi\right)}{\left(4e\,\cos^{2}\varphi-2e+1\right)}\omega$$
Y la aceleración vertical
$$\ddot{y} = \left(\frac{\partial}{\partial\varphi}\dot{y}\right)\dot{\varphi}+\left(\frac{\partial}{\partial\dot{\varphi}}\dot{y}\right)\ddot{\varphi}
= \left(2a\, e\,\a la izquierda(1-2\cos^{2}\varphi\right)\right)\dot{\varphi}^{2}+\left(\mbox{-}2a\, e\,\sin\varphi\cos\varphi\right)\ddot{\varphi}$$
$$ = \mbox{-}2a\, e\,\frac{\left(2\cos^{2}\varphi+2e-1\right)\dot{\varphi}^{2}+\sin\varphi\cos\varphi\,\dot{\omega}}{4e\,\cos^{2}\varphi-2e+1}$$
Antes de ampliar aún más, miro el pico de la aceleración de a $\varphi=0$
o donde $\dot{\varphi}=\frac{1}{2e+1}\omega$
y $\ddot{\varphi}=\frac{1}{2e+1}\dot{\omega}$
$$ \ddot{y} = \mbox{-}2a\, e\,\frac{\left(2+2e-1\right)\dot{\varphi}^{2}+0}{2e+1}
= \mbox{-}2a\, e\,\dot{\varphi}^{2}
= \mbox{-}2a\, e\,\left(\frac{1}{2e+1}\omega\right)^{2}$$
$$ \boxed{\ddot{y}=\mbox{-}\frac{2a\, e\,\omega^{2}}{\left(2e+1\right)^{2}}}$$
Cuando esta aceleración es igual a la gravedad con $\ddot{y}=\mbox{-}\, g$
entonces la elipse saltos. Esto ocurre en el momento crítico de la velocidad angular de
$$\omega_{C}=\left(2e+1\right)\sqrt{\frac{g}{2a\, e}}$$
