Duda en el defn del operador exponencial.

Question

definición

Que $A$ ser una matriz de $n\times n$. Entonces para $t\in \mathbb R$, $$e^{At}=\sum_{k=0}^\infty \frac{A^kt^k}{k!}\tag{1}$ $

Pero en esta definición, lo son es decir, por el término $A^kt^k$, si doy esta matriz %#% $ #%

¿Qué podemos decir acerca del $$A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix},$, significa ¿cómo será?

Answer 1

Para exponenciación de matrices, la forma más fácil es diagonalize el exponente en primer lugar,

$U^{\dagger} AtU = D = \mbox{diag}\{D_1, D_2,...,D_n\} $ eigen valores $D_1,D_2,...,D_n$

desde

$ U^{\dagger}exp(At) U = exp(D) = \mbox{diag}\{e^{D_1}, e^{D_2},...,e^{D_n} \} $ Entonces $$exp(At) = U exp(D)U^{\dagger} $ $

Para la matriz, obtendrá,

$$ e ^ {a} = \left (\begin{array}{cc} e^{2 t} \cos (t)-e^{2 t} \sin (t) & -e^{2 t} \sin (t) \\ 2 e^{2 t} \sin (t) & e^{2 t} \cos (t)+e^{2 t} \sin (t) \\ \end{matriz} \right). $$

Answer 2

Una manera de manejar este tipo de problemas es encontrar la Forma Normal de Jordan de $A$: $$ A =\begin{bmatrix} -1-i&-1+i\\ 2&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2-i&0\\ 0&2+i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1-i&-1+i\\ 2&2 \end{bmatrix} ^ {-1} $$ tomando exponencial de $A$ ahora es bastante simple: $$\begin{align} \exp(At)&= \begin{bmatrix} -1-i&-1+i\\ 2&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{2t}e^{-it}&0\\ 0&e^{2t}e^{it} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1-i&-1+i\\ 2&2 \end{bmatrix} ^ {-1} \\ & =\begin{bmatrix} -1-i&-1+i\\ 2&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{2t}e^{-it}&0\\ 0&e^{2t}e^{it} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2i&1+i\\ -2i&1-i \end{bmatrix} \\ & = e ^ {2t}\begin{bmatrix} \cos(t)-\sin(t)&-\sin(t)\\ 2\sin(t)&\cos(t)+\sin(t) \end{bmatrix} \end{align} $$

Answer 3

Respondiendo a tu pregunta $(1)$ será

$$ e ^ {a} = \left [\begin {array}{cc} {{\rm e}^{2\,t}}(\cos \left( t \right)- \sin \left( t \right)) &-{{\rm e}^{2\,t}}\sin \left( t \right) \\ 2\,{{\rm e}^{2\,t}}\sin \left( t \right) & {{\rm e}^{2\,t}}(\cos \left( t \right) +\sin\left( t \right)) \end{matriz} \right]. $$